Las 2 formas exactas en $R^n$

Question

Un cerrado $1$ -en un conjunto simplemente conectado en $R^n$ es exacta. Me gustaría una condición similar (con una referencia) en los conjuntos en $R^n$ que cerró $2$ -son exactas. La cohomología de Rham da una respuesta algebraica, pero me interesa una condición como simplemente conectada con el recurso geométrico.

La condición no debe excluir "demasiados" conjuntos. Por analogía, los conjuntos cerrados $1$ -sobre conjuntos contráctiles son exactas. Pero esta condición excluye demasiados conjuntos, por ejemplo, el conjunto simplemente conexo $R^3 - \{{0\}}$ .

Answer 1

Se puede apelar al teorema del coeficiente universal para decir que "toda superficie cerrada en $S$ limita a un 3manifold en $S$ "es una condición que implica que las 2 formas cerradas en $S$ son exactas. No es del todo general, pero es bastante amplio y me parece geométricamente atractivo.

Si realmente quieres una condición if-and-only-if, podrías decir algo como "toda superficie cerrada en $S$ tiene un múltiplo que delimita un 3-manifold en $S$ ", pero cualquiera que esté realmente contento con eso probablemente también esté bien con hablar en términos de cohomología de Rham. :)