Espacios métricos homeomórficos limitados y no limitados

Question

Me cuesta encontrar un ejemplo de espacios métricos homeomórficos tales que uno esté acotado y otro no

Answer 1

$$ \tan : (-\pi,\pi) \to \mathbb R $$ Esto es un homeomorfismo de $(-\pi,\pi)$ a $\mathbb R$ .

Así es: $x \mapsto \dfrac x {\pi^2-x^2}$ .

Answer 2

Considere $\mathbb{Z}$ con la topología discreta. Sea $d_1(x,x) =0$ y por otra parte $1$ . Sea $d_2 (x,y)=|x-y|$ . Ambas métricas producen la topología discreta, y sólo una de ellas está acotada.

Answer 3

Si considera que $\mathbb{R}$ y $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ como espacios métricos para la métrica habitual, entonces se puede comprobar que $\arctan:\mathbb{R}\to]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ es un homeomorfismo. Para esta métrica, se tiene que $\mathbb{R}$ no está acotado mientras que $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\subset B(0,2)$ .