Una pregunta que me hicieron en los deberes fue que si el dividendo tiene un grado de 9, el divisor tiene un grado de 4, ¿cuál sería el mayor grado posible del resto? Como el cociente en este caso tendría un grado de 5, ¿el resto tendría el mismo grado? ¿O es mayor o menor?
Respuestas
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Judy N.
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36
Hubiera preferido publicar esto como un comentario, pero no se me permite; sin embargo, como ninguno de los contribuyentes anteriores han definitivamente respondió la pregunta creo que está bien.
La respuesta a la pregunta planteada en el título es en general sí y la razón se deduce de la observación de Jack M de que no sólo el cociente puede ser como gran en grado como quiera pero también (misma diferencia) puede ser tan pequeño en grado que quiera, que es lo que se necesita para responder afirmativamente a la pregunta. Por ejemplo, si divide $x^2+x$ por $x^2$ el cociente es $1$ y el resto es $x$ .
Sin embargo, la respuesta para el ejemplo concreto dado en el cuerpo de la pregunta es no como describe Bernard en los comentarios; sin embargo, conviene señalar que esto depende del grado del divisor en relación con el grado del dividendo. Sólo en el caso de que el grado del divisor sea inferior a $\frac{\deg(\text{dividend})}{2}+1$ no es posible que un resto tenga un grado mayor que el cociente.
kerchee
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66
Al igual que con los números enteros, si divido algo por $3$ el resto va a ser como máximo $3$ pero si el número es $3$ mil millones, el cociente será de mil millones. El cociente puede ser arbitrariamente grande.
De forma similar para los polinomios. El cociente puede ser tan grande (en grado) como quiera. Dado un resto $r$ de grado inferior a $\deg(a)$ el polinomio $q(x)a(x)+r(x)$ tiene cociente $q$ bajo la división por $a$ - donde $q$ puede ser cualquier polinomio, incluso de grado treinta y ocho trillones.
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Bienvenido a MathSX No. La condición sobre el resto $r$ es que $$r=0\enspace\text{ or }\deg r<\deg(\text{divisor}).$$
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Lo que si usted tiene una ecuación como x^9 + x^8 - x^7 / x^4 + x^3 habría un resto de -x^7 pero el cociente es x^5 gracias por responder a mi pregunta por cierto
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Te equivocas: el cociente es $x^5-x^3+x^2-x+1$ y el resto es $-x^3$ .
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Lo siento, he formateado mal la pregunta. Estaba pensando en algo como esto $(x^9 + x^8 - x^7)/( x^4 + x^3)$
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¿Qué tiene que ver con los restos? Puedes simplificar la fracción mediante $x^3$ .
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Oh, espera, ahora lo entiendo, el resto/divisor que obtuve antes se puede simplificar aún más para que sea uno menos que el grado del cociente, ¡gracias por tu ayuda!