¿Es una función de densidad integrable?

Question

Dejemos que $X \in \mathbb{R}$ sea una variable aleatoria continua con función de densidad $f$ (es decir $f(x)\geq 0$ y $\int f(x)dx=1$ ). ¿Significa esto que $\int |f(x)|dx < \infty$ es decir $f \in L^1$ ?

(La razón por la que hago esta pregunta es porque conozco la función característica de $X$ siempre existe y quería comprobar que esto se debe a que $f \in L^1$ .)

Answer 1

La función de densidad de probabilidad es no negativa. Por lo tanto, $|f(x)|=f(x)$ y $$ \int |f(x)|\mathrm dx=\int f(x)\mathrm dx=1. $$ De ello se desprende que $f\in L^1$ .