Polo de la función $f(z)=\frac{z}{(1-e^z).\sin z}.$

Question

Deja , $f(z)$ sea una función meromórfica dada por $$f(z)=\frac{z}{(1-e^z).\sin z}.$$ Demostrar o refutar que " $z=0$ es un polo de orden $2$ ".

1er argumento :

En primer lugar podemos reescribir la función dada como $\displaystyle f(z)=\frac{z}{\sin z}.\frac{1}{1-e^z}$ . Ahora $\displaystyle \frac{z}{\sin z}$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ . También , $\displaystyle \frac{1}{1-e^z}$ tiene un polo de orden $1$ en $z=0$ . Así que finalmente la función tiene un polo de orden $1$ en $z=0$ .

Segundo argumento :

Pero sabemos que " Una función $f$ tiene un polo de orden $m$ si y sólo si $(z-a)^mf(z)$ tiene una singularidad extraíble en $z=a$ ."

Así que aquí, si podemos demostrar que $\displaystyle z^2f(z)=\frac{z^3}{(1-e^z).\sin z}=g(z)(say)$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ entonces podemos demostrar que $f$ tiene un polo de orden $2$ en $z=0$ .

Ahora, como $\displaystyle \lim_{z\to 0}z.g(z)=0$ Así que $g$ tiene una singularidad extraíble en $z=0$ y en consecuencia $f$ tiene un polo de orden $2$ en $z=0$ .

Estoy confundido, ¿cuál es el correcto? No he podido encontrar ningún error en mis dos argumentos. ¿Puede alguien detectar la falacia?

Answer 1

Su primer argumento es correcto. Tiene un polo de orden 1.

Para el segundo argumento, donde te equivocas es en saltar a la conclusión de que como $\lim_{z\rightarrow 0}g(z) = 0$ $g(z)$ tiene una singularidad extraíble y $f(z)$ tiene un polo de orden 2. Piensa en lo que pasaría si en lugar de eso dejaras $g(z) = z^{27}f(z).$ Todavía tendrías $g(z)\rightarrow 0.$ ¿Significa eso que $g$ tiene un 27 ¿polo de orden?

Answer 2

Recuerdas mal el resultado: una función holomorfa $f$ en $B_r(a)\setminus\{a\}$ (el círculo perforado de radio $r$ alrededor de $a$ ) tiene un polo en $a$ si y sólo si no tiene una singularidad extraíble en $a$ pero $(z-a)^nf(z)$ tiene una singularidad extraíble en $a$ para algunos entero $n>0$ . El mínimo de dicho número entero es el orden del polo.

Es fácil ver que esto es lo mismo que decir que existe un número entero $m$ tal que $(z-a)^mf(z)$ tiene una singularidad extraíble y $$ \lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)\ne0 $$ En este caso, $m$ está determinada de forma única y es el orden del polo.

Se puede demostrar que si $f$ tiene un polo de orden $m$ en $a$ entonces su representación como serie de Laurent $$ f(z)=\frac{c_{-m}}{(z-a)^m}+ \frac{c_{-1}}{(z-a)}+c_0+c_1z+\dotsb $$ es válida para cada $z\in B_r(a)\setminus\{a\}$ .

En su caso, la singularidad en $0$ no es removible, pero $$ zf(z)=\frac{z}{e^z-1}\frac{z}{\sin z} $$ tiene una singularidad extraíble en $0$ . Por lo tanto, el orden del polo es $1$ . Tenga en cuenta que $\lim_{z\to0}zf(z)=1\ne0$ .