$\mathcal O_{\mathbb P^r \times \mathbb P^s}(a,b)$ es amplia si y sólo si $a > 0$ y $b > 0$ .
Además, $a > 0$ , $b > 0$ es también la condición para $\mathcal O_{\mathbb P^r \times \mathbb P^s}(a,b)$ para ser muy amplia, lo que significa que las secciones globales de $\mathcal O_{\mathbb P^r \times \mathbb P^s}(a,b)$ definen una incrustación cerrada de $\mathbb P^r \times \mathbb P^s$ en el espacio proyectivo. Dado que un haz de líneas es amplio si y sólo si alguna potencia positiva del mismo es muy amplia, basta para el propósito de su pregunta comprobar la amplitud.
La generación global es una condición más débil que la amplitud; significa que las secciones globales de $\mathcal O_{\mathbb P^r \times \mathbb P^s}(a,b)$ definen un morfismo de $\mathbb P^r \times \mathbb P^s$ en el espacio proyectivo, aunque este morfismo no tiene que ser necesariamente una incrustación cerrada porque puede no separar puntos o separar vectores tangentes. Veremos que $a \geq 0$ y $b \geq 0$ es la condición para $\mathcal O_{\mathbb P^r \times \mathbb P^s}(a,b)$ para ser generados globalmente.
Por ejemplo, una base para las secciones globales de $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(1,1)$ es $\{x_0y_0, x_0y_1, x_1y_0, x_1y_1 \}$ , donde $[x_0:x_1]$ y $[y_0:y_1]$ son las coordenadas homogéneas en las dos $\mathbb P^1$ 's. Podemos utilizar estas secciones globales para definir la incrustación de Segre $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1 \to\mathbb P^3$ , $$( [x_0:x_1],[y_0:y_1]) \mapsto [x_0y_0: x_0y_1:x_1y_0:x_1y_1]. $$
Una base para las secciones globales de $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(1,2)$ es $\{ x_0y_0^2, x_0y_0y_1, x_0y_1^2, x_1y_0^2, x_1y_0y_1, x_1y_1^2 \}$ . Estos definen la siguiente incrustación de $\mathbb P^1 \times \mathbb P^1$ en $\mathbb P^5$ : $$([x_0:x_1],[y_0:y_1]) \mapsto [x_0y_0^2: x_0y_0y_1: x_0y_1^2: x_1y_0^2: x_1y_0y_1: x_1y_1^2],$$ Esto puede entenderse como la inclusión de la segunda $\mathbb P^1$ en $\mathbb P^2$ a través de la segunda incrustación de Veronese, entonces la incrustación $\mathbb P^1 \times \mathbb P^2$ en $\mathbb P^5$ a través de la incrustación de Segre.
Una base para las secciones globales de $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(1,0)$ son $x_0$ y $x_1$ . Definen un morfismo a $\mathbb P^1$ , $$([x_0:x_1],[y_0:y_1]) \mapsto [x_0: x_1],$$ pero este morfismo no es inyectivo, por lo que no es una incrustación cerrada, por lo que $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(1,0)$ se genera globalmente, pero no es muy amplia.
El haz de líneas $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(0,0)$ es aún más simple. Su espacio vectorial de secciones globales es unidimensional, abarcado por $1$ . Esto define un morfismo bastante trivial para $\mathbb P^0$ , $$([x_0:x_1],[y_0:y_1]) \mapsto [1].$$ La conclusión es que $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(0,0)$ también se genera globalmente, pero no es muy amplia.
Finalmente, $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(2,-1)$ no tiene ninguna sección global, por lo que sus secciones globales no definen ningún morfismo hacia el espacio proyectivo, por lo que $\mathcal O_{\mathbb P^1 \times \mathbb P^1}(2,-1)$ no se genera globalmente ni es muy amplia.
Espero que pueda ver la generalización de estos ejemplos.
