Elementos nilpotentes en un anillo conmutativo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo. Demuestre que para cualquier $a,b \in R$ nilpotente que $a+b$ también es nilpotente en $R$ .

Sabemos que $a^n = 0$ para algún n y $b^m = 0 $ para algún m, así que considera $(a+b)^{m+n} = (a+b)(a+b)...(a+b)$ $n+m$ tiempos.

No veo cómo $R$ ser conmutativo me ayuda aquí.

Answer 1

Supongamos que $a^m = 0$ y $b^n = 0$ . Ahora buscamos un número entero positivo $k$ tal que $(a+b)^k = 0$ . Ignorando los coeficientes, recordemos que la expansión polinómica de $(a+b)^k$ comienza con $a^k b^0$ Después de esto, el poder de $a$ disminuye en $1$ para cada término sucesivo mientras que la potencia de $b$ aumenta en $1$ para cada plazo sucesivo.

Nuestra estrategia, entonces, será elegir $k$ tan grande que los términos antes $b$ se eleva al $n$ son todos $0$ porque $a$ se eleva a una gran potencia, tras lo cual $b$ se asegurará de que los términos restantes sean todos $0$ .

Expandiéndose: $$(a+b)^k = c_0 a^k + c_{1} a^{k-1} b + c_{2} a^{k-2} b^2 + \cdots + c_{n-1} a^{k-n+1} b^{n-1} + c_{n} a^{k - n} b^{n} + \cdots + c_{k} b^k$$

donde el $c_i$ son coeficientes encontrados en, por ejemplo, el Triángulo de Pascal. Entonces cada término a partir del que empieza por $c_{n}$ on tendrá $b^n = 0$ como factor y, por tanto, ser $0$ . Para los términos anteriores, la menor potencia de $a$ es $k-n+1$ para que baste con garantizar $k-n+1 \geq m$ es decir, $k \geq m + n - 1$ . Entonces cada término es de la forma $c_i a^{k-i} b^i = c_i \cdot 0 = 0$ para que tengamos una suma de todos los ceros, lo que da como resultado $0$ . Así, $a+b$ es nilpotente como se desea, donde obtenemos la cota general más aguda fijando $k = m + n - 1$ . QED