Problema completo:
Consideremos el modelo depredador-presa con $\dot{x} = x(1-y)$ y $\dot{y} = (2x-1)y$ . Demuestre que toda solución positiva no constante es periódica.
Mi respuesta:
En primer lugar, podemos ver aquí que tenemos dos puntos de equilibrio, $E_1 = (0,0)$ y $E_2 = \left( \frac{1}{2},1 \right)$ . Como sólo nos interesan las soluciones positivas no constantes, centraremos nuestros esfuerzos en $E_2$ .
$$Df\left(x , y \right) = \left( \begin{matrix} 1-y & -x \\ 2y & 2x-1 \end{matrix}\right)$$ Así que, $$Df\left( \frac{1}{2}, 1 \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 0\end{matrix}\right) \implies \lambda_{1,2} = \pm i$$
Por lo tanto, como obtenemos valores propios complejos con parte real nula, esto implica que tenemos un centro en el punto $\left(\frac{1}{2},1 \right)$ . Por lo tanto, como no hay más puntos de equilibrio positivos, todas las soluciones positivas no constantes del sistema deben ser periódicas.
Creo que esto es correcto, pero no estoy seguro de si hay algo más que deba decir ya que estamos queriendo mostrar esto para TODAS las soluciones positivas no constantes. Gracias de antemano por cualquier consejo.
