Un límite con una respuesta intuitiva y equivocada

Question

En mi última pregunta pregunté sobre un límite usado en mi exploración de los círculos tangentes y demás.

Decidí hacer un acercamiento más directo a mi problema, y ahora sólo tengo que evaluar el límite $$ \lim_ {d \to x} \frac { \dfrac {f(x)-f(d)}{x-d}-f'(d)}{x-d}$$

La intuición daría la respuesta es el segundo derivado de $f$ en $x$ . Sin embargo, al expandir y todo eso y luego usar l'Hôpital, así como al conectar alguna muestra $f$ llego a la mitad de la segunda derivada. ¿Por qué mi intuición está equivocada?

Answer 1

El factor que te falta es debido a la $1/2$ que surge cada vez que se expande a un segundo orden:

$$f(x) = f(d) + f'(d) (x-d) + 1/2 f''(d) (x-d)^2 + o((x-d)^2).$$

Sustituye y tienes

$$ \frac {f'(d) + 1/2 f''(d) (x-d) + o(x-d) - f'(d)}{x-d} = 1/2 f''(d) + o(1).$$

Esto debería explicar sus resultados. La respuesta de Ereg muestra una manera de ver esto usando sólo la regla de L'Hopital; aquí el $2$ surge del derivado de $(x-d)^2$ en el denominador.

Aquí hay una aclaración de la notación, en caso de que no esté ya familiarizado con ella. En lo anterior, $o(g(x))$ es un reemplazo de una función, que no estoy especificando, y que tiene la propiedad $ \lim_ {x \to d} \frac {o(g(x))}{g(x)} = 0$ . Esto se llama "pequeña notación oh", y es bastante estándar.

Answer 2

Supongamos que $f$ es diferenciable en un barrio de $x$ y la segunda derivada es continua en $x$ entonces podemos aplicar el teorema de l'Hôpital hasta el límite en la forma \begin {alinear} \lim_ {d \to x} \frac {f(x)-f(d)-(x-d)f'(d)}{(x-d)^2} & \overset { \mathrm {H}}{=} \lim_ {d \to x} \frac {-f'(d)+f'(d)-(x-d)f''(d)}{-2(x-d)} \\ &= \lim_ {d \to x} \frac {f''(d)}{2} \\ &= \frac {f''(d)}{2} \end {alinear}

Piensa en la expansión de Taylor. Por supuesto que estas no son las hipótesis mínimas para que el resultado se mantenga.

Answer 3

Las otras respuestas son geniales. Sólo quiero concentrarme en la diferencia crucial entre lo que tienes y lo que esperas. Si escribieras

$$ \lim_ {d \to x} \frac {f'(x)-f'(d)}{x-d}$$

que sería ser $f''(x)$ . Tenga en cuenta que la cantidad $f'(x)$ que aparece el numerador es el valor de $f'$ en $x$ . Sin embargo, en tu numerador, tienes $ \frac {f(x)-f(d)}{x-d}$ . Esta cantidad es la valor medio de $f'$ durante el intervalo $[x,d]$ .