Pregunta: Demuestre que para cada uno de los $27132$ de estos (composiciones de $20$ con exactamente $14$ sumandos), siempre hay una colección de sumandos consecutivos que suman $5$ .
Sé que debo utilizar el principio de encasillamiento para demostrarlo. Creo que mi principal problema es que no estoy del todo seguro de lo que dice la pregunta. ¿Alguien tiene una idea de cómo demostrarlo? Muchas gracias de antemano
SUGERENCIA:
Como señaló @N.F.Taussig, el número de formas de romper $20$ en $14$ números positivos (el orden es importante) es igual al número de maneras de insertar $13$ $+$ signos en el $19$ espacios.
$$1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1 \square 1$$
He aquí un ejemplo de tal desglose:
$$1 + 1 \square 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \square 1 + 1 + 1 \square 1 \square 1 + 1 + 1 \square 1 \square 1 + 1 + 1 + 1 \\ = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1= 20$$
Ahora bien, ¿qué hace un trozo de sumandos consecutivos que suman $5$ ¿se ve así? Los paréntesis y las llaves muestran dos trozos de muestra:
$$(1 + 1 \square 1 + 1 + 1) + 1 + 1 + 1 \square 1 + 1 + 1 \square 1 \square 1 + \{ 1 + 1 \square 1 \square 1 + 1 \}+ 1 + 1 \\ = (1 + 2 + 1 + 1) + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + \{1 + 3 + 1\} + 1 + 1= 20$$
En el primer ejemplo (el trozo encerrado entre paréntesis) esto se debe a un $+$ en la 5ª posición, y un poco de reflexión debería convencerte de que siempre que esto ocurre, eso significa que el trozo inicial correspondiente suma $5$ .
En el segundo ejemplo (el trozo encerrado entre llaves), esto se debe a dos $+$ signos en las posiciones 13 y 18, es decir, son $5$ posiciones separadas. De nuevo, un poco de reflexión debería convencerte de que siempre que dos $+$ los signos son $5$ posiciones de separación, el trozo adjunto correspondiente suma $5$ .
Así que sólo tienes que demostrar que, colocando $13$ $+$ signos en $19$ espacios, se llenará la 5ª posición, o la 15ª posición (es decir, la 5ª desde el final), o habrá dos $+$ signos que son $5$ posiciones separadas.
¿Puedes terminar desde aquí o necesitas más pistas?
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