Caracteres de Dirichlet módulo $260$

Question

Quiero contar el número de caracteres Dirichlet con propiedades dadas:

• Número de caracteres de Dirichlet módulo $260$
• Número de caracteres cuadráticos de Dirichlet módulo $260$
• Número de caracteres primitivos de Dirichlet módulo $260$
• Número de caracteres cuadráticos primitivos de Dirichlet módulo $260$

La respuesta a la primera pregunta es $96$ porque $\mathfrak{D}_N\cong\Bbb{Z}_N^*$ (aquí anotamos el grupo de caracteres de Dirichlet módulo N con $\mathfrak{D}_N$ ). Gracias a este argumento también podemos resolver la segunda pregunta, porque queremos encontrar el número de elementos en $\Bbb{Z}_N^*$ con orden $2$ . Pero, ¿cómo puedo contar esos elementos? Para la tercera pregunta no sé cómo resolverla. Creo que hay que buscar hasta subgrupos de $\Bbb{Z}_n^*$ Pero, ¿cómo?

¿Puede alguien ayudarme con este tema? Gracias

Answer 1

Para $n \in \mathbb{Z}_+$ tenemos

$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*} \cong \bigoplus_{p|n} (\mathbb{Z}/p^{e_p}\mathbb{Z})^{*},$$

donde $e_p = \max \{e: p^e|n\}.$

Además, para $p > 2,$

$$(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{*} \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^{e-1}\mathbb{Z}.$$

Si $p = 2,$

$$(\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})^{*} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2^{(e-2)_+}\mathbb{Z}.$$

Todo lo que quieras saber debería poder leerse a partir de estas descomposiciones. Por ejemplo, $Hom((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*},\mu_2)$ es un grupo abeliano elemental 2 de rango igual al número de divisores primos de $n$ si $n \not\cong 0 \mod 8$ y el número de divisores primos de $n$ más uno, en caso contrario. Denotando este rango $r,$ se deduce que el número de caracteres cuadráticos es igual a $2^r - 1.$