Una prueba de un resultado falso: Si $U$ es $T$ -invariante, entonces también lo es $U^\perp$ .

Question

$\newcommand{\ab}[1]{\langle #1\rangle}\DeclareMathOperator{\tr}{trace}\newcommand{\mc}{\mathcal}$

Tengo una "prueba" del siguiente hecho erróneo:

Dejemos que $T$ sea un operador lineal sobre un espacio de producto interno complejo de dimensión finita. Sea $U$ ser un $T$ -subespacio invariable de $V$ . Entonces $U^\perp$ también es $T$ -invariante.

(La prueba está motivada por este página).

Utilizamos el hecho de que la escritura $\ab{T, S}=\tr(TS^*)$ define un producto interno en el espacio lineal $\mc L(V)$ . Dejemos que $p:V\to V$ denotan la proyección sobre $U$ con respecto a $U^\perp$ y nota que decir $U$ es invariable bajo $T$ es lo mismo que escribir $(I-p)Tp=0$ . Así que para demostrar que $U^\perp$ es invariable bajo $T$ tenemos que demostrar que $S:=pT(I-p)=0$ . Para ello, basta con demostrar que $\tr(S S^*)=0$ . Desde $p$ es un mapa de proyección ortogonal, tenemos $p^*=p$ .

Utilizando $\tr(AB)=\tr(BA)$ para $A, B\in \mc L(V)$ tenemos

$$\begin{array}{rcl} \tr(SS^*) &=& \tr(pT(I-p)(I-p)T^*p)\\ &=& \tr(pT(I-p)^2T^*p)\\ &=& \tr(pT(I-p)T^*p)\\ &=& \tr((pT-pTp)T^*p)\\ &=& \tr(pTT^*p)-\tr(pTpT^*p)\\ &=& \tr(p^2TT^*)-\tr(p^3TT^*)\\ &=& \tr(pTT^*)-\tr(pTT^*) = 0 \end{array}$$ Y por lo tanto tenemos nuestro resultado.

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

El problema es que $pT\neq Tp$ en general, por lo que los rastros de $pTpT^*p$ y $p^2TT^*p$ no tienen por qué ser iguales.

Consideremos el operador lineal $$T = \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&2 \end{pmatrix}$$ en $\mathbb C^2$ . Ahora $U=\{(x,0);x\in\mathbb C\}$ es $T$ -invariante ( $TU\subset U$ ) sino su complemento ortogonal $U^\perp=\{(0,y);y\in\mathbb C\}$ no lo es.

Unos cálculos sencillos dan como resultado $$p = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \quad (I-p)Tp=0, \quad pT(1-p) = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$ Ahora bien, las dos trazas son efectivamente diferentes, como lo demuestra un cálculo. De hecho, las trazas de $pTpT^*p$ y $p^2TT^*p$ son las normas cuadradas de $pTp$ y $pT$ respectivamente, y $$pTp = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \quad pT = \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$

Answer 2

Si $T$ es triangular, y $p(v=\sum_i v_i e_i)=v_1e_1,\ v_i\in \mathbb{C}$ entonces $$Tpe_n=0,\ pTe_n= T_{1n} \neq 0$$

Así que $$pT\neq Tp$$

En su cálculo, la segunda igualdad en la parte inferior es incorrecta.