Valor máximo de $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\sin (x)f(x)dx$

Question

Pregunta: El valor máximo de $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\sin (x)f(x)dx$ si $|f(x)|\le5$

Mi intento: Intenté usar la desigualdad de Cauchy-Schwartz

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\sin (x)f(x)dx\le\sqrt{\int_\frac{-\pi}{2}^{\frac{3\pi}{2}}\sin^2(x)dx\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}f^2(x)dx}$

y utilizando $\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}f^2(x)dx \le 50\pi$ . Pero obtuve una respuesta diferente (la respuesta dada es $20$ ). ¿Podría alguien decirme en qué me he equivocado y cómo proceder?

Answer 1

Dejemos que

$$f(x)=\begin{cases} -5 &&\sin(x)\leq 0\\ 5 && \sin(x)>0 \end{cases}$$

Entonces

$$\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\sin(x)f(x)dx=5\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}|\sin(x)|dx=10\int_0^\pi \sin(x)dx=20$$

Para ver que se trata de un máximo, observe que

$$\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\sin(x)f(x)dx\leq \left|\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\sin(x)f(x)dx\right|\leq \int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\left|\sin(x)f(x)\right|dx$$

$$=\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}\left|\sin(x)|\cdot |f(x)\right|dx\leq 5\int_{-\pi/2}^{3\pi/2}|\sin(x)|dx=20$$