Obtención de resultados diferentes al hacer la lagrangiana de un péndulo simple con diferentes coordenadas

Question

Estaba probando el lagrangiano en el péndulo simple y me di cuenta de que obtenía resultados diferentes en función de cómo definiera theta.

Al definir $\theta$ desde la vertical, tenemos $x=r\sin\theta$ y $y=-r\cos\theta$ . Entonces, \begin {align} L&=T-U \\ &= \frac {1}{2}mr^2 \dot\theta ^2-mgr \cos\theta \end {align} Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange dan, $$ \frac{g}{r}\sin\theta+\ddot\theta=0\tag{1} $$

Pero al definir $\theta$ desde la horizontal, terminamos con $$ \frac{g}{r}\cos\theta+\ddot\theta=0\tag{2} $$

Dado que (1) y (2) no son lo mismo cuando se considera la aproximación del ángulo pequeño, ¿qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

La razón de la diferencia es porque de los dos sistemas de coordenadas diferentes. Al definir $\theta$ desde el eje vertical, el punto estacionario estable es cuando $\theta=0$ que permite la aproximación de ángulos pequeños. Sin embargo, al definir $\theta$ desde el eje horizontal, el punto estacionario estable está en $\theta=90^\circ$ y no podemos utilizar la aproximación del ángulo pequeño. En su lugar, tendríamos que hacer una aproximación de ángulo pequeño ligeramente diferente : $$ \cos\left(\pi/2\pm\theta\right)\approx\cos(\pi/2)\mp\theta\sin(\pi/2)\simeq\mp\theta $$ que parece dar la misma solución que cuando se considera $\theta$ del eje vertical.