Buscando una variación de la espiral de Arquímedes de varios brazos

Question

Estoy buscando cualquier tipo de ecuación(es) o algoritmo(s) que pueda ser utilizado para describir una variación de la espiral de Arquímedes de varios brazos.   En una verdadera espiral de Arquímedes, la distancia entre un brazo y el siguiente es una distancia radial constante, pero especialmente a medida que el número de brazos, n, se hace mayor, la distancia perpendicular entre los brazos se reduce hacia cero a medida que los brazos de la espiral se acercan al centro.

Estoy buscando una espiral ligeramente diferente en la que la distancia entre un brazo y el siguiente sea siempre una distancia perpendicular constante, modelando mejor un verdadero medio de espesor constante como una alfombra o una cuerda, hasta algún radio inicial mínimo cerca del origen. 

Una ecuación general para una espiral de Arquímedes de n brazos es: $$R(\theta) = \frac{na}{2\pi}\theta+ka$$ donde n es el número de brazos de la espiral, a es la distancia radial entre brazos, y k es un contador de índices que va de 0 a n-1, para generar cada uno de los n brazos.

Dadas las mismas variables n y a, pero cambiando la definición de a para que sea la distancia perpendicular local entre brazos en lugar de la distancia radial, me gustaría encontrar:

- Cualquier tipo de ecuación(es) o algoritmo(s) informático(s) iterativo(s) que describa(n) con precisión los arcos de la espiral,

- El círculo de diámetro mínimo que residirá en el centro de todos los arcos de la espiral.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No se puede adaptar con éxito una espiral de Arquímedes para mantener constante el grosor de la alfombra normalmente.Hay que buscar la espiral adecuada con esa propiedad.

Un Involución de un círculo mantiene constante la separación normal. Debe comenzar con un Círculo de base (magenta) por debajo de la cual las alfombras no pueden enrollarse sin interferencias.

Una división del segmento del Círculo Base es igual a la distancia normal, como se ve en el croquis.

Una involuta simple tiene una ecuación paramétrica con $\theta$ parámetro $$ x = a \sqrt{1+\theta^2} \cos(\theta -tan^{-1}\theta), y = a \sqrt{1+\theta^2} \sin(\theta -tan^{-1}\theta); $$

E incluir otros $n$ brazos por rotación de la matriz $ \pi/n$ ,