Raíces proyectivas de un polinomio homogéneo

Question

Supongamos que $f(X,Y)\in\mathbb C[X,Y]$ es un polinomio homogéneo de grado $n$ entonces podemos considerarla como una función sobre $\mathbb P^1_\mathbb C$ . Tiene como máximo $n+1$ raíces proyectivas (puntos de $\mathbb P^1_\mathbb C$ ), es decir, las raíces "afines" (que son $n$ ) más posiblemente el punto en el infinito.

Consideremos ahora los siguientes dos polinomios homogéneos en tres variables (sobre $\mathbb C$ ):

$$F(X,Y,Z)=Z^m+Z^{m-1}F_1(X,Y)+\ldots+F_m$$ $$G(X,Y,Z)=Z^n+Z^{n-1}G_1(X,Y)+\ldots+G_n$$

donde $F_i$ y $G_i$ son homogéneos de grado $i$ . El resultado $R_{F,G}$ respecto a la variable $Z$ es un polinomio homogéneo de grado $mn$ por lo que tiene como máximo $mn+1$ raíces proyectivas. No entiendo por qué, en algunas pruebas del teorema de Bezout, los autores dicen que este hecho lleva a un absurdo. Parece que $R_{F,G}$ sólo puede tener $mn$ raíces proyectivas pero no entiendo la razón.

Answer 1

Permítanme responder mostrando cómo un polinomio homogéneo de grado $n$ en la línea proyectiva tiene $n$ soluciones.

Un polinomio típico es

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_0y^n$$

supongamos que $a_{m}\neq 0$ es el primer coeficiente no nulo entonces los factores de la ecuación

$$a_m y^{n-m}(x-\beta_1 y) \cdots (x-\beta_m y)$$ ahora para $y=1$ tenemos las raíces finitas $[\beta_1:1], \ldots , [\beta_m:1]$

Ahora $y=0$ es una raíz sólo si $n-m\neq 0$ en cuyo caso se produce esta raíz $n-m$ veces por lo que el número total de raíces contando la multiplicidad es siempre $$m+(n-m)=n$$