Encuentre $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin( |x| + |y|) + |y|(e^x - 1)} {|x| + |y|} $

Question

$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin( |x| + |y|) + |y|(e^x - 1)} {|x| + |y|} $$ Intenté de esta manera

$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin( |x| + |y|)}{|x| + |y|} + \frac{|y|(e^x - 1)} {|x| + |y|} $

el primer término, cuando $(x,y)\to(0,0)$ es $1$ . Cuando $x\to 0 $ tenemos que $(e^x - 1) \to x$ .

Ahora el límite a resolver es: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} 1 + \frac{|y|x} {|x| + |y|} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) $

$ f(x,y) ≤ | \frac{|y|x} {|x| + |y|} |$ = $ \frac{|y||x|} {|x| + |y|} $ = $ \rho \frac{|\sin(\theta)||\cos(\theta)|}{|\sin(\theta)| + |\cos(\theta)|} $ ≤ $ \rho \frac{1}{2m} $ donde $\frac{1}{2}$ es el máximo de la función en el numerador y m es el mínimo de la función en el denominador y es un número positivo

$ \rho \frac{1}{2m} \to 0 $ cuando $\rho \to 0^+$ Así que el límite inicial es 1

¿Está bien?

Answer 1

$e^{x}-1 \to x$ no es una afirmación precisa y en realidad es mucho más fácil manejar el segundo término. Sólo hay que tener en cuenta que $\frac {|y|} {|x|+|y|} \leq 1$ por lo que el segundo término está limitado en valor absoluto por $|e^{x}-1|$ que tiende a $0$ .

Answer 2

Para el segundo tenemos

$$ \frac{|y|(e^x - 1)} {|x| + |y|}= \frac{e^x - 1} {x} \cdot\frac{|y|x} {|x| + |y|} \to 0$$

como ha mostrado por coordenadas polares o como alternativa por AM-GM ya que $|x| + |y| \ge 2\sqrt{|xy|}$

$$\frac{|xy|} {|x| + |y|}\le \frac{|xy|} {2\sqrt{|xy|}}=\frac12 \sqrt{|xy|} \to 0$$