Demostrar que $$I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{\pi}{2}$$
Utilizando el mismo método de Cálculo de una integral real mediante integración compleja ,
*Except for the use of the Residue theorem because it's not covered*
Llegué a:
$$\lim_{R \to \infty}\int_\psi \frac{dz}{(z^2+1)^2} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$$
Dónde $\psi$ es el mismo contorno tomado en la pregunta vinculada.
Ahora bien, si observamos que $$(z^2+1)^2 = (z-i)^2(z+i)^2$$ Y como tenemos un contorno simple y cerrado, podemos utilizar el Teorema de la Integral de Línea de Cauchy para las derivadas con $$z_0 = -i$$$$f(z) = \frac{1}{(z-i)^2}$$$$n = 1$$
Creo que esto es lo que hice mal, ya que $z_0$ no está en el interior del camino pero no estoy del todo seguro
Podemos demostrar que $$I = \frac{i\pi}{-2}$$
Por supuesto, las respuestas no coinciden. Lo que creo que salió mal, ¿es lo que realmente salió mal?
