El grupo de raíces de la unidad en el campo numérico ciclotómico de un orden primo impar

Question

Dejemos que $l$ sea un número primo impar y $\zeta$ sea una primitiva $l$ -raíz de la unidad en $\mathbb{C}$ . Sea $K = \mathbb{Q}(\zeta)$ . ¿Es cierto que cualquier raíz de unidad en $K$ es de la forma $\pm\zeta^k$ donde $k$ es un número entero?

Motivación: Una raíz de unidad en $K$ es un elemento invertible del anillo de enteros algebraicos en $K$ . La determinación del grupo de elementos invertibles de este anillo es importante por varias razones. Por ejemplo, se utiliza en el cálculo del número de clase de $K$ .

Se me ocurrieron dos ideas diferentes, cada una de las cuales podría resolver este problema.

(1) Utilizar el hecho que el grupo de raíces unidad en $K$ es finito. Por tanto, este grupo es cíclico. Sea $\omega$ ser su generador. Compara [ $\mathbb{Q}[\omega] : \mathbb{Q}$ ] con $l - 1$ = [ $K : \mathbb{Q}$ ].

(2) Utilice el hecho de que el único número primo que ramifica en un campo numérico ciclotómico de orden de potencia primo $p^n$ es $p$ , excepto $p = 2$ y $n = 1$ .

Pregunta relacionada: El grupo de raíces de la unidad en un campo numérico algebraico

Answer 1

El OP ya ha sugerido dos maneras de resolver esto:

(a) Que $\zeta_n$ generó el grupo de raíces de la unidad en $\mathbb Q(\zeta_l)$ . Entonces $2l$ divide $n$ y también $\mathbb Q(\zeta_l) = \mathbb Q(\zeta_n)$ . Una consideración de los grados muestra que $\varphi(n) = \varphi(l)$ y combinando esto con el hecho de que $2l$ divide $n$ La teoría elemental de los números implica que en realidad $n = 2l$ .

(b) La teoría de la ramificación descarta la posibilidad de $\zeta_n$ acostado en $\mathbb Q(\zeta_l)$ si $n$ es divisible por un primo impar $p \neq l$ o por un poder de $2$ mayor que el primero.

Aquí hay otros argumentos (sigo dejando $\zeta_n$ sea el generador de las raíces de la unidad en $\mathbb Q(\zeta_l)$ ):

(c) Teoría de Galois: ya que $\mathbb Q(\zeta_l) = \mathbb Q(\zeta_n)$ , pasando a grupos de Galois sobre $\mathbb Q$ encontramos que las unidades en $\mathbb Z/n$ se proyectan isomórficamente sobre las unidades de $\mathbb Z/l$ . Dado que $2l | n$ deducimos del teorema del resto chino que $n = 2l$ .

(d) Discriminantes: Dado que $\mathbb Q(\zeta_l) = \mathbb Q(\zeta_n)$ una consideración de las fórmulas discriminantes estándar muestra que $n = 2l$ .

(e) Observar la reducción módulo de primos divididos: Elegir $p$ primo a $n$ y congruente con $1$ mod $l$ . Entonces el grupo de $n$ raíces de la unidad inyecta en el campo de residuos de cualquier primo situado sobre $p$ . Desde $p \equiv 1 \bmod l$ este campo de residuos es sólo $\mathbb F_p$ y así encontramos que $n | p-1$ si $p > n$ (decir) y $p \equiv 1 \bmod l$ . El teorema de Dirichlet da entonces que las unidades en $\mathbb Z/n$ se proyectan isomórficamente sobre las unidades de $\mathbb Z/l$ de lo que se deduce que $n = 2l$ .

(f) Trabajando localmente en l: no es difícil comprobar que las raíces de la unidad en $\mathbb Q_l(\zeta_l)$ son precisamente $\mu_{l(l-1)}$ . Así que tenemos que demostrar que la única $(l-1)$ a las raíces de $1$ en $\mathbb Q(\zeta_l)$ son $\pm 1$ . En realidad, no veo cómo hacer esto ahora mismo sin volver a uno de los otros argumentos, pero probablemente haya una forma concisa.

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Obsérvese que (c) no es más que una versión elegante de (a), mientras que (d) es una forma más concreta de (b) (que utiliza menos teoría). Puede parecer que (e) es exagerado, y ciertamente lo es para esta pregunta, pero el método puede ser útil, y tiene una conexión obvia con (c) a través de las leyes de reciprocidad. El método (f) (desgraciadamente incompleto) está relacionado con (b).