GCD y LCM de tres números

Question

Dados dos enteros positivos G y L, ¿podrías decirme cuántas soluciones de (x, y, z) hay que satisfagan que gcd(x, y, z) = G y lcm(x, y, z) = L? gcd(x, y, z) significa el máximo común divisor de x, y y z, mientras que lcm(x, y, z) significa el mínimo común múltiplo de x, y y z. Además, (1,2,3) y (1,3,2) son dos soluciones diferentes, mientras que (1,2*,2) y (1,2,2*) son la misma solución. (* es sólo un símbolo) ¿Hay alguna idea sobre esto? Gracias de antemano.

Answer 1

Vamos a escribir $\displaystyle x = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i}$ , $\displaystyle y = \prod_{i=1}^n p_i^{b_i}$ , $\displaystyle z = \prod_{i=1}^n p_i^{c_i}$ donde el $p_i$ son los primos que son factores de al menos uno de $x, y, z$ .

Entonces $\displaystyle \gcd(x,y,z) = \prod_{i=1}^n p_i^{\min(a_i,b_i,c_i)}$ y $\displaystyle \mathrm{lcm}(x,y,z) = \prod_{i=1}^n p_i^{\max(a_i,b_i,c_i)}$ .

Ahora, supongamos que $n=1$ para simplificar. Entonces el número de $(x,y,z)$ con gcd $p^q$ y lcm $p^r$ es sólo el número de triples $(a,b,c)$ con un mínimo de $q$ y el máximo $r$ . Si $r=q$ esto es sólo $1$ , mientras que si $q<r$ esto es $6(r-q-1) +3+3 = 6(r-q)$ donde el primer término cuenta los triples donde los tres son diferentes y los otros dos términos son para los triples donde dos de ellos son iguales (ya sea dos iguales a $p^q$ o dos iguales a $p^r$ ). Si $r<q$ el número es $0$ .

Así que define $f(s) = 0$ si $s<0$ , $f(0) = 1$ y $f(s) = 6s$ si $s>0$ .

Ahora dejemos que $\displaystyle G = \prod_{i=1}^n p_i^{q_i}$ y $\displaystyle L = \prod_{i=1}^n p_i^{r_i}$ . Entonces se puede demostrar que el número de triples con gcd $G$ y lcm $L$ es $\displaystyle \prod_{i=1}^n f(r_i-q_i)$

Answer 2

Dejemos que $G=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{\alpha_n}$ con $p_i$ diferentes números primos y $\frac{L}{GCD(L,G)}=q_1^{\beta_1}\cdot\ldots\cdot q_n^{\beta_n}$ con $q_i$ diferentes números primos.

Ahora $(x, y, z)$ satisface sus condiciones si y sólo si $x=G\cdot l$ , $y= G\cdot h$ , $z= G\cdot k$ donde $(l,h,k)$ son todas las posibles factorizaciones de $\frac{L}{GCD(L,G)}$ .

Aquí se necesita algo de combinatoria sobre $\frac{L}{GCD(L,G)}=q_1^{\beta_1}\cdot\ldots\cdot q_n^{\beta_n}$