Demuestra o refuta que la siguiente afirmación es cierta

Question

Tengo un problema con el que necesito ayuda:

Demostrar o refutar que P ( M $\cup$ N ) $\neq$ P ( M ) $\cup$ P( N ).

Lo que he probado hasta ahora

Considera: M \= $\{ a,b,c\}$ y N \= $\{\text{red},\text{blue},\text{yellow}\}$

$\Rightarrow$ P ( M ) ${}= 3^3 = 27$ y P ( N ) ${} = 3^3$

Combine P ( M ) $\cup$ P ( N )

$\Rightarrow \bigcup \{M,N\} = \{x\mid(x\in M) \text{ and } (x\in N)\}$

$\Rightarrow$ P ( M ${}\cup{}$ N ) ${}= \{a,b,c,\text{red}, \text{blue}, \text{yellow} \}$

$\Rightarrow$ P ( M,N ) ${}= 6^6 = 46656$

$\Rightarrow$ P ( M $\cup$ N ) ${}\neq{}$ P ( M ) ${}\cup{}$ P( N )

¿Es correcta mi respuesta?

Answer 1

Tu respuesta tiene una buena idea pero hay algunos errores técnicos en ella.

Por ejemplo, usted dice $P(M)=3^3$ que es no Es cierto.

• En primer lugar, $P(M)$ es un set , mientras que $3^3$ es un número. Los dos no son iguales.
• Lo que probablemente quiera decir $|P(M)|=3^3$ es decir, que el tamaño del conjunto $P(M)$ es $3^3$ . Pero aún así, no, no es cierto.

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Para intentar la prueba de nuevo, te sugiero que intentes construir un contraejemplo más pequeño, y que abandones la idea de los tamaños de los conjuntos. Simplemente mira los conjuntos de potencia directamente.

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Para un desafío adicional, intente probar esta afirmación:

$P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$ si y sólo si $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$ .

Answer 2

Dejemos que $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{a,b,c\}.$

Entonces $\{2,3,a,b\}$ es miembro de $P(A\cup B)$ pero no es miembro de $P(A)\cup P(B).$

Answer 3

Toma $M$ y $N$ como dos conjuntos finitos no vacíos de cardinalidad $m$ y $n$ respectivamente. Entonces $|P(M \cup N)|=2^{m+n}$ . $P(M) \cap P(N)=\{ \{ \} \}$ Así que $$|P(M) \cup P(N)|=|P(M)|+|P(N)|-1=2^m + 2^n -1,$$ y como este número es impar, nunca puede ser cierto que $P(M \cup N)=P(M) \cup P(N)$ .

Answer 4

En su ejemplo, $\vert A\vert=\vert B\vert = 3$ y $\vert A \cup B \vert=6$ así que $\vert P (A)\vert =\vert P (B)\vert =2^3$ y $\vert P (A \cup B) \vert =2^6$ . .. Ahora $\vert P (A) \cup P (B)\vert= \vert P (A)\vert +\vert P (B)\vert - \vert P (A)\cap P (B)\vert=2^3+2^3-1=2^4-1= 15$ , por lo que no son iguales. ..