Oscilador armónico dependiente del tiempo

Question

Me encuentro ante el problema de resolver la siguiente ecuación de Schroedinger:

$$i\hslash\partial_{t} \Psi = ( -\nabla^2 +w^2(t) )\Psi$$

donde la frecuencia del oscilador depende del tiempo. Intenté resolverlo utilizando el enfoque de Kruskal, como se describe en el siguiente documento

"Una teoría cuántica exacta del oscilador armónico dependiente del tiempo y de una partícula cargada en un campo electromagnético dependiente del tiempo", H. R. Lewis y W. B. Riesenfeld,

pero sin ningún resultado.

En particular estoy teniendo problemas para encontrar el $\rho$ función. En mi caso la frecuencia $w^2(t)$ es:

$$e^{4(t+Ce^{t})}$$ donde $C$ es una constante genérica. ¿Puede ayudarme?

Answer 1

(¿Sin término de masa y sin factores de 1/2? Me resulta extraño que hayas incluido $\hbar$ y no estos otros factores)

Parece que se puede utilizar la separación de variables. Sólo suponga (voy a usar sólo una dimensión por ahora, ya que debería ser el mismo proceso para 3)

$$\Psi = \psi(t)\phi(x)$$

Esto da:

$$i \hbar \;\partial_t \psi (t) \phi(x) = -\hbar^2\psi(t)\partial_x^2\phi(x)+\omega^2(t)\psi(t)\phi(x)$$

Ahora divide por $\psi(t)\phi(x)$

$$ i \hbar \;\frac{\partial_t \psi (t)}{\psi(t)} = -\hbar^2\frac{\partial_x^2\phi(x)}{\phi(x)}+\omega^2(t) $$

Supongamos ahora que $\frac{\phi_x^2 \psi (t)}{\phi(x)}$ es igual a una constante $K$ y se obtienen dos ecuaciones diferenciales:

$$-i\hbar \frac{\partial_t \psi (t)}{\psi(t)} = \hbar^2 K + \omega^2(t)$$ $$\partial_x^2\phi(x) = K \phi(x)$$

La segunda (la espacial) se resuelve fácilmente para que sea una suma de exponenciales y la primera (creo) también se puede resolver, quizás usando un factor integrador ya que es sólo de primer orden. Probablemente no podrás ponerlo en forma cerrada, pero será una solución integral que se puede calcular numéricamente o poner en forma de expansión.

No he mirado los detalles de esto pero piense en lo que yo diga funcionará....