Integración de una parte del círculo

Question

Necesito encontrar una solución adecuada para la integral. No he podido hacer nada al respecto. Si tratas de ayudarme sería genial. Gracias

$\displaystyle \int_\gamma$ ( $i\overline z$ + $z^2)\mathrm{d}z =\ ?$

$\gamma$ es la parte del círculo y $\lvert z\rvert = 2$ ; arg(z) $\in$ $[\pi/2,\pi]$

Answer 1

Una parametrización adecuada de $\gamma$ sería $\gamma(t)=2e^{\mathrm it},~t\in[\pi/2,\pi]$ . Entonces, basta con introducirlo en la definición. Si $\gamma$ es una paremtrización en $[a,b]$ entonces

$$\begin{align*} \int_\gamma f(z)\mathrm dz&:=\int_a^b \gamma'(t)f(\gamma(t))\mathrm dt\\ \int_\gamma (\mathrm i\bar z+z^2)\mathrm dz&=\int_{\pi/2}^\pi\underbrace{2\mathrm ie^{\mathrm it}}_{\gamma'}(\mathrm i\overline{2e^{\mathrm it}}+\left(2e^{\mathrm it}\right)^2)\mathrm dt\\ &=\int_{\pi/2}^\pi 2\mathrm i e^{\mathrm it}(2\mathrm ie^{-\mathrm it}+4e^{2\mathrm it})\mathrm dt\\ &=\int_{\pi/2}^\pi 4\left(-e^0+2\mathrm ie^{3\mathrm it}\right)\mathrm dt \end{align*}$$

Sólo tienes que utilizar las reglas de la función exponencial compleja: $\overline{\exp(z)}=\exp(\bar z)$ y luego las reglas habituales conocidas de los reales. Y a partir de aquí, la integración debería ser factible.

Answer 2

Estás en el círculo $|z|=2$ por lo tanto

$z\overline z=|z|^2=4,\overline z=4/z$ .

Por lo tanto, se puede representar el integrando como

$i\overline z +z^2=(4i/z)+z^2$

e integrar los términos por separado, así

$\int (i\overline z+z^2) dz = \int ((4i/z)+z^2) dz = 4i\ln z+(z^3)/3+C$ .

Para manejar el logaritmo: Supongamos que el argumento varía continuamente de $\pi/2$ a $\pi$ , es decir, no se cruza el corte de la rama.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin {align} & \bbox [5px,#ffd]{ \int_ {z\ \in\ 2 \expo { \large\ic\pars { \pi /2, \pi }}} \pars { \ic\overline {z} + z} \, \dd z} = \int_ { \pi /2}^{ \pi } \bracks { \ic\pars {2 \expo {- \ic\theta }} + 2 \expo { \ic\theta }}\,2 \expo { \ic\theta } \ic\ , \dd\theta \\ [5mm] = &\\N- \int_ { \pi /2}^{ \pi } \pars {-4 + 4 \ic\expo {2 \ic\theta }} \dd\theta = \bbx {4 - 2 \pi } \\ &\ \end {align}