Determinar todos los $k$ tal que $k^3+k+1$ es divisible por 11

Question

La tarea es la siguiente:

Determinar todos los $\ k\in\mathbb Z$ tal que $k^3+k+1$ es divisible por 11

Supuse que " $k^3+k+1$ es divisible por 11" es decir $11|k^3+k+1$ . Eso significa que puedo reescribirlo como una combinación lineal $$k^3+k+1 = 11n\quad\forall n\in\mathbb Z$$ Estaba pensando en factorizar el polinomio de la izquierda para hacerlo más fácil de manejar, pero no creo que sea factorizable. Mi idea es utilizar el algoritmo euclidiano, pero el polinomio de la izquierda me inquieta.

¿Puede alguien indicarme cómo proceder con esta tarea?

Answer 1

Puedes resolver esto más rápido usando aritmética modular, pero no la usaré:

Dejemos que $k=11t+r$ con $0\le r\le 10$ . $$k^3+k+1=11\left(11^2t^3+3\cdot 11t^2\cdot r+3\cdot t\cdot r^2+t\right)+r^3+r+1$$

Por lo tanto: $$11\mid k^3+k+1\iff 11\mid r^3+r+1$$

Ahora comprueba los casos $r=0,1,\ldots, 10$ .

Por ejemplo, $11\nmid 0^3+0+1$ y $11\nmid 1^3+1+1$ pero $11\mid 2^3+2+1$ etc.

Verá que sólo $r=2$ obras. Por lo tanto, la respuesta es $k=11t+2$ para cualquier $t\in\mathbb Z$ .

Si pudieras utilizar la aritmética modular, podrías resolver esto comprobando los casos $k\equiv 0,1,2,\ldots,10\pmod{11}$ .

Por ejemplo, si $k\equiv 0\pmod{11}$ entonces $k^3+k+1\equiv 0^3+0+1\equiv 1\not\equiv 0\pmod{11}$ etc.

Se encontrará con que sólo $k\equiv 2\pmod{11}$ funciona.

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Aquí hay otra solución. Podría explicarla sin aritmética modular, pero la usaré:

$$k^3+k+1\equiv k^3+k-10\equiv (k-2)\left(k^2+2k+5\right)\pmod{11}$$

Por El lema de Euclides :

$$\iff \left(k\equiv 2\pmod{11}\ \text{ or }\ k^2+2k+5\equiv 0\pmod{11}\right)$$

$$\iff \left(k\equiv 2\pmod{11}\ \text{ or }\ (k+1)^2\equiv 7\pmod{11}\right)$$

La segunda congruencia no tiene soluciones, porque $7$ no es un residuo cuadrático mod $11$ . Esto se puede demostrar comprobando $0^2, (\pm 1)^2, (\pm 2)^2,\ldots, (\pm 5)^2$ mod $11$ (ninguno de ellos puede ser congruente con $7$ mod $11$ ), o utilizando Reciprocidad cuadrática :

$$\left(\frac{7}{11}\right)=-\left(\frac{11}{7}\right)=-\left(\frac{4}{7}\right)=-\left(\frac{2^2}{7}\right)=-1$$