Cálculos de magnitud aparente

Question

Intentaba hacer algunos cálculos de magnitud aparente para ayudar a solidificar mi comprensión del tema, pero me he encontrado con cierta confusión.

De acuerdo con Wikipedia la magnitud aparente puede ser dada como:

$m_x = -2.5 \log_ {10}(F_x/F^0_x)$

donde $F_x$ es el flujo observado y $F^0_x$ es un flujo de referencia (en otras palabras, esta ecuación proporciona el diferencia de magnitud aparente entre dos valores observados). Además, esto supone que se utiliza la misma banda de longitudes de onda en ambas mediciones de flujo.

Flujo a su vez, se puede calcular como:

$F = \frac {L}{A}$

donde $L$ es la luminosidad de la estrella y $A$ es la densidad de flujo. Dado que las estrellas actúan como fuentes puntuales, esto puede simplificarse a:

$F = \frac {L}{4 \pi r^2}$

donde $r$ es la distancia a la estrella.

Dado que, históricamente, Vega ha sido usado como el punto cero de referencia (con una magnitud aparente alrededor de 0,03), intenté hacer un cálculo simple para averiguar la magnitud aparente de Fomalhaut usando los valores de luminosidad y distancia dados en Wikipedia para ambos de ellos .

Primero, el flujo de Vega:

$F_{Vega} = \frac {37\,L_ \odot }{4 \pi (25.3\,ly)^2}$

$F_{Vega} = 4.5999 \times 10^{-3}\,L_ \odot /ly^2$

A continuación, el flujo de Fomalhaut:

$F_{Fomalhaut} = \frac {17.66\,L_ \odot }{4 \pi (25\,ly)^2}$

$F_{Fomalhaut} = 2.2485 \times 10^{-3}\,L_ \odot /ly^2$

Ahora, para calcular la magnitud aparente:

$m_{Fomalhaut} = -2.5 \log_ {10}( \frac {2.2485 \times 10^{-3}\,L_ \odot /ly^2}{4.5999 \times 10^{-3}\,L_ \odot /ly^2})$

$m_{Fomalhaut} = 0.7777$

¿Eh? La aparente magnitud de Fomalhaut se supone que es 1.16 . Incluso corrigiendo la compensación de Vega de 0.03, todavía nos encontramos con 0.8077 . ¿Por qué fallan los cálculos? No creo que haya cometido un error en las matemáticas. ¿Estoy usando los valores equivocados?

Answer 1

Gracias por hacer esta pregunta. Es algo que todos asumimos como obviamente trivial y que a menudo nos saltamos. Tu pregunta me ha hecho reflexionar y no estaba seguro de si los valores de luminosidad que aparecen en la Wikipedia se refieren al rango óptico o a la luminosidad bolométrica, es decir, a la luminosidad en todas las longitudes de onda.

Un poco de búsqueda en Google me llevó a esta página donde esta cuestión parece haber sido bien discutida y también resuelta.

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Answer 2

Creo que el verdadero problema estará en los errores de medición. Recordemos que el error en una función de $n$ variables, $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ con errores asociados para cada variable $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , ... , $\sigma_n$ viene dada por $$\sigma_{f}=\sqrt{\sum_i^n \left(\sigma_i\frac{df(x_1, x_2, ..., x_n)}{dx_i}\right)^2}$$

En su caso, la función es $F(L, r)=\frac{L}{4\pi r^2}$ por lo que la fórmula de propagación del error es

$$\sigma_{F}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{L}}{4 \pi r^2}\right)^2 + \left(\frac{-3\sigma_{r}}{4 \pi r^3}\right)^2}$$

Para Vega, $\sigma_{L}=3L_{\odot}$ , $\sigma_r=0.1LY$ . Eso da $$\sigma_{F_{Vega}}=3.77\times10^{-4}$$

En el caso de Fomalhaut, fue un poco más complicado de localizar, ya que la wikipedia no da el error de luminosidad, pero en el artículo se da: $\sigma_{L}=0.82L_{\odot}$ , $\sigma_r=0.1LY$ . Eso da $$\sigma_{F_{Fomalhaut}}=1.05\times10^{-4}$$

Utilizando de nuevo la fórmula estándar de propagación de errores, el error asociado a la magnitud aparente es

$$\sigma_{m}=\sqrt{\left(\frac{-2.5\sigma_{F_{Fomalhaut}}}{F_{Fomalhaut}}\right)^2 + \left(\frac{2.5\sigma_{F_{Vega}}}{F_{Vega}}\right)^2}$$

Si se introducen todos los valores utilizados anteriormente, obtengo $$\sigma_{m}=0.237$$ lo que significa que su estimación está fuera de lugar por sólo $1.5\sigma$ . Eso está muy bien, teniendo en cuenta que estas luminosidades son probablemente bolométricas y no sólo de la banda visual, aunque su magnitud aparente es sólo en la banda V, lo que hace que sea sólo una fracción de toda la luz de la estrella.

Answer 3

Los cálculos parecen correctos. No he comprobado tus valores de entrada, pero creo que el error se debe a que estás sobreestimando la precisión de los valores de luminosidad y distancia de Vega y Fomalhaut. Ambas cosas son notoriamente difíciles de medir en astronomía y a veces requieren la especificación de advertencias. La magnitud aparente en alguna banda de ondas es relativamente fácil de medir, ya que sólo es una medida de luminosidad relativa. Las luminosidades que has citado pueden o no ser bolométricas (la suma de todas las bandas de ondas) y también está la cuestión de si las luminosidades han sido corregidas por la extinción (también conocida como enrojecimiento) a lo largo de la línea de visión.

Answer 4

La relación entre el flujo ( $F$ ) en vatios por metro cuadrado, y la magnitud aparente ( $m$ ), para la misma banda, es

$$ \begin{aligned} m &= 2.5 \log F 18.982249379206\\ F &= 10^{0.4m 7.5928997516824} \end{aligned}$$