Una pregunta difícil del concurso de la antigua Unión Soviética

Question

Sea $(a_n)$ una secuencia positiva tal que $\varlimsup\limits_{n\to\infty} a_n^{1/n}=1$ y $\varliminf\limits_{n\to\infty} a_n^{1/n}<1$.

Demuestra que existe una subsucesión $(a_{n_i})$ tal que

$$\lim\limits_{i\to\infty}\left(a_{n_i}\right)^{1/{n_i}}=1$$

y

$$\lim\limits_{i\to\infty}{\lvert(a_{n_i})^2-a_{n_i+1}a_{n_i-1}\rvert}^{1/{n_i}}=1.$$

Answer 1

Defina $A= \{(k_n)_{n\ge 1} ; \lim_{n \rightarrow \infty }{k_n^{\frac{1}{n}}}=1 \land ( \forall i\ge 1 ; k_i \in (a_n)_{n \ge 1} ) \}$ , y considere la secuencia a continuación: $$ \bigcup_{(d_n)_{n \ge 1} \in A} (d_n)_{n \ge 1} = (c_{i_j})_{i_j \ge 1} $$ ahora probamos que esta secuencia puede ser aceptada como respuesta, primero se puede observar que $(c_{i_j})_{i_j \ge 1} \subsetneq (a_n)_{n \ge 1}$ ya que $(a_n)_{n \ge 1}$ no converge a 1, y $(c_{i_j})_{i_j \ge 1}$ es numerable ya que es una subsecuencia de $(a_n)_{n \ge 1}$.

ahora considere secuencias que pueden crearse en la forma de $(c_{i_j-1})_{i_j-1 \ge 1}$ y $(c_{i_j+1})_{i_j+1 \ge 1}$ demostramos que ninguna de estas secuencias converge a 1, lo que significa que después de un número finito de pasos ya no convergen a $1$.

asuma por el contrario que una de ellas por ejemplo $(c_{i_j-1})_{i_j-1 \ge 1}$ converge a $1$ esto significa que $(c_{i_j-1})_{i_j-1 \ge 1} \in \bigcup_{(a_n)_{n \ge 1} \in A} (a_n)_{n \ge 1}$ ahora nuevamente podemos repetir el mismo argumento para las dos subsecuencias obtenidas $(c_{i_j-2})_{i_j-2 \ge 1}$ y $(c_{i_j})_{i_j \ge 1}$, uno puede ver fácilmente si esto continúa indefinidamente significa que la secuencia $(a_n)_{n \ge 1}$ converge a $1$ lo cual es contrario a la suposición del problema.

ahora defina $M = \sup|c_{i_j}^2 - c_{i_j-1}c_{i_j+1}|$ y $m = \inf|c_{i_j}^2 - c_{i_j-1}c_{i_j+1}|$ ya que todos los términos son positivos y ninguna de las subsecuencias $(c_{i_j})_{i_j-1 \ge 1}$ y $(c_{i_j})_{i_j+1 \ge 1}$ convergen a $1$, por lo que su multiplicación tampoco lo hace, podemos concluir que existe un índice $j_0$ tal que para cualquier $j_0 \le i_j$ tenemos $0 < m \le 1$ y $0 < M \le 1$ ahora podemos escribir: $$ \limsup_{j \rightarrow \infty} |c_{i_j}^2-c_{i_j-1}c_{i_j+1}|^{\frac{1}{i_j}} \le \lim_{j \rightarrow \infty } M^{\frac{1}{i_j}} = 1 $$ y $$ \liminf_{j \rightarrow \infty} |c_{i_j}^2-c_{i_j-1}c_{i_j+1}|^{\frac{1}{i_j}} \ge \lim_{j \rightarrow \infty } m^{\frac{1}{i_j}} = 1 $$ lo que implica: $$ \liminf_{j \rightarrow \infty} |c_{i_j}^2-c_{i_j-1}c_{i_j+1}|^{\frac{1}{i_j}}=\limsup_{j \rightarrow \infty} |c_{i_j}^2-c_{i_j-1}c_{i_j+1}|^{\frac{1}{i_j}}=1 $$ Esta subsecuencia también tiene la primera propiedad lo que concluye la prueba.