¿Es todo subconjunto abierto de $R^n$ una unión de hipercubos numerables?

Question

Estoy tratando de extender la demostración vista aquí que cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ se puede escribir como una unión contable de intervalos abiertos disjuntos. Aparentementese parece una demostración análoga para $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, no puedo pensar en ninguna relación de equivalencia que me permita continuar con mi esbozo.

El esbozo es el siguiente:

1. Definir una relación de equivalencia $\sim$ en $\mathbb{R}^n$
2. Mostrar que la clase de equivalencia $\sim(x)$ no está vacía y es abierta
3. Probar que $\sim(x)\bigcap \sim(y) \neq \emptyset \Rightarrow \sim(x)=\sim(y)$
4. Mostrar que $\sim(x)$ es un hipercubo $\prod_{i=1}^N(a_i,b_i)$
5. Mostrar que el conjunto de clases de equivalencia D es numerable
6. Deducir que $\bigcup D$ es igual a nuestro subconjunto abierto

Answer 1

Parece que supones que los hipercubos están abiertos. En este caso, tu afirmación definitivamente no es verdadera. Si n > 1 toma la bola abierta de radio 1 $B_1(0)$ alrededor del origen (dada por la métrica euclidiana estándar). Esta bola definitivamente no es un hipercubo. Entonces, si hubiera hipercubos abiertos disjuntos $W_n$, tal que $B_1(0) = \cup W_n$, habría al menos dos. Dado que $B_1(0)$ está (camino) conectado, esto es una contradicción.

Si no supones que los cubos están abiertos, puedes buscar aquí una respuesta Cada subconjunto abierto $O$ de $\Bbb R^d,d \geq 1$, puede ser escrito como una unión contable de cubos cerrados casi disjuntos.

Answer 2

Lukas ha explicado por qué es imposible para $n > 1$. Pero es cierto para $n = 1$, ver Cualquier subconjunto abierto de $\Bbb R$ es a lo sumo una unión contable de intervalos abiertos disjuntos. [Recopilación de pruebas].

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre $n > 1$ y $n = 1$?

Esto es muy simple. Los componentes (= subconjuntos conectados máximos) de un abierto $U \subset \mathbb{R}$ son intervalos abiertos. Pero $U$ es la unión de sus componentes que son intervalos abiertos disjuntos. Para $n > 1$ los componentes de un abierto $U \subset \mathbb{R}^n$ en general no son hipercubos abiertos. De hecho, ningún abierto conectado $U \subset \mathbb{R}^n$ que no sea un hipercubo abierto puede ser la unión disjunta de hipercubos abiertos contenidos en $U$.