Demostrar la convergencia localmente uniforme de una secuencia

Question

Deje para $n = 0,1,2,...$ , $f_n : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f_n (x) = x^n$ .

1) ¿Es la convergencia de { $f_n$ } $_{n=0} ^\infty$ a $f$ localmente uniforme en el intervalo $[0.1]$ ?

2) Y en el intervalo $[0.1)$ ?

La definición de convergencia localmente uniforme es:

La secuencia { $f_n$ } converge localmente de manera uniforme a $f$ si para todo $x \in D$ hay un barrio $U$ de $x$ en $\mathbb{R}^p$ tal que $f_n | U \cap D$ es uniformemente convergente, con $f : D \rightarrow \mathbb{C}$ .

¿Por dónde debería empezar a resolver la primera pregunta? Es difícil imaginar lo que se quiere decir con ese barrio $U$ .

Answer 1

Si $f_n$ es converger localmente de manera uniforme a alguna función $f:I\to\Bbb R$ entonces $f$ debe ser el límite puntual de la $f_n$ Es decir $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ . Esto significa que $f(1)=1$ y $f([0,1))=\{0\}$ Así que $f$ no es continua. Sin embargo, si $f_n$ converge localmente de manera uniforme a $f$ entonces $f$ tiene que ser continua. Por lo tanto, el $f_n$ no convergen localmente de manera uniforme en $I$ .

En $J=[0,1)$ La situación es diferente. Aquí, la función límite es $f\equiv0$ . ¿Puede demostrar que para cada $d<1$ , $f_n$ convergen uniformemente a $f$ en $[0,d)$ y concluir que $f_n$ convergen localmente de manera uniforme en $J$ ?