Llevo bastante tiempo atascado en el siguiente problema: $$\text{Prove by finding minimal polynomial that: }$$ $$\sqrt{\sqrt[3]{2}-i} \text{ is algebraic over }\mathbb{Q}.$$
Mi intento: A través de la cuadratura y la cubicación, he sido capaz de encontrar que $$p(x)=x^{12}+3x^8-4x^6+3x^4+12x^2+5$$ tiene como raíz el elemento descrito anteriormente. Ahora la única advertencia es exhibir que $p(x)$ es mínima. Como se puede imaginar, esto implica demostrar que $p(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ . Ahora bien, he intentado aplicar el criterio de Eisenstein y el lema de Gauss, pero no parecen funcionar directamente, y no sé cómo evitarlo, por desgracia. Así que mi enfoque fue demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{\sqrt[3]{2}-i})$ tiene dimensión 12 sobre $\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, $\sqrt{\sqrt[3]{2}-i})$ tiene grado 12 sobre $\mathbb{Q}$ . Así, concluyo que el polinomio que he encontrado, que también es de grado 12 y es mónico, debe ser el polinomio mínimo que buscábamos.
Sé que esto es muy descuidado, pero no tengo otro enfoque. Algunas personas propusieron soluciones diferentes, que utilizan la teoría de Galois o algunas formas muy enrevesadas de demostrar la irreductibilidad de $p(x)$ pero no pude encontrarle sentido a esos argumentos.
