¿Podría alguien ayudarme a evaluar esta integral?

Question

La integral es $$ \int_{0}^{1/\sqrt{\vphantom{\large A}2\,}} {\arccos\left(x\right) \over \sqrt{\vphantom{\large A}1 -x^2\,}\,}\;{\rm d}x $$ Me preguntaba si podía utilizar la sustitución para resolver este problema o si tenía que resolverlo de otra manera.

Answer 1

$$ \int \Big(\arccos x\Big) \left( \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \int \Big( u \Big) \Big(-du\Big) $$

(Si no sabes lo que es la derivada de la función arcocoseno, eso es lo que tienes que buscar).

Cuando $x=0$ entonces $u=\pi/2$ y cuando $x=1/\sqrt{2}$ entonces $u=\pi/4$ (hay que recordar algo de trigonometría para ver de dónde salen esos números). Así que

$$\int_{\pi/2}^{\pi/4}\cdots\cdots\, (- du) = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cdots\cdots\, du$$

es decir, intercambiar $\pi/2$ y $\pi/4$ se anula eliminando el signo menos.

Answer 2

Integrar directamente: $$u=\arccos x \Rightarrow du=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$ Entonces $$\int \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx=- \int \arccos x\cdot(-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}})=$$ $$=-\frac{1}{2}(\arccos x)^2 +c,$$ Así que.., $$\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}dx =-\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^2+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2})^2=\cdots=\frac{3\pi^2}{32}.$$

Answer 3

Una pista: $\int ff'=\frac{1}{2}f^2$ .

Answer 4

Tenemos que evaluar la integral definida: $$\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} \ dx$$ Sólo hay que utilizar la sustitución en u. Déjalo: $$u=\arccos x \implies du=-dx$$ $$\int_0^{1/\sqrt{2}}u \ -du=-\int_0^{1/\sqrt{2}}u \ du=\left.-\frac{u^2}{2}\right|_0^{1/\sqrt{2}}$$ Sustituyendo $\arccos x$ para $u$ : $$\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} \ dx=\left.-\frac{1}{2}(\arccos x)^2+C \ \right|_0^{1/\sqrt{2}}$$ Ahora sólo tenemos que evaluar la integral definida. $$\left.-\frac{1}{2}(\arccos x)^2+C \ \right|_0^{1/\sqrt{2}}=\left[-\frac{1}{2}\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+C\right]-\left[-\frac{1}{2}(\arccos 0 )^2+ C\right]$$ Debes saber que $\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ y $\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}$ . $$-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{4}\right)^2+C+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-C$$ $$=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{16}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^2}{4}$$ $$=\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi^2}{32}$$ $$=\frac{4\pi^2}{32}-\frac{\pi^2}{32}$$ $$=\frac{3\pi^2}{32}$$ $$\displaystyle \color{green}{\therefore \int_0^{1/\sqrt{2}}\dfrac{\arccos x}{\sqrt{1-x^2}} \ dx=\dfrac{3\pi^2}{32}}$$ Espero haber ayudado.