Gama de $x$ para el que la desigualdad de módulo será válida : $|x^2-2x-8| > 2x$ : Necesito una aclaración sobre el conjunto de soluciones

Question

$|x^2-2x-8| > 2x \\ $

Para este problema tomé dos casos en los que en un caso $ x^2-2x-8 \geq 0$ y en el segundo caso $ x^2-2x-8 \lt 0$ .

$1st$ Caso cuando $ x^2-2x-8 \geq 0$ :-

$ x^2-2x-8 \gt 2x$

Para este caso obtuve la solución establecida como $x \in (-\infty,-2] \cup \biggl(2(1+\sqrt{3}),\infty\biggr)$ al resolver las dos ecuaciones anteriores, es decir $ x^2-2x-8 \geq 0$ y $ x^2-2x-8 \gt 2x$ y luego tomar el rango común de valores de $x$ a partir de las soluciones de las dos ecuaciones.

$2nd$ Caso cuando $ x^2-2x-8 \lt 0$ :-

$ -(x^2-2x-8) \gt 2x$

Para este caso obtuve la solución establecida como $x \in (-2,2\sqrt{2})$

Estoy confundido sobre cómo decidir el conjunto de soluciones para el problema original como un todo, porque si trazamos el conjunto de soluciones en la línea numérica para ambos casos anteriores, entonces, según mi entendimiento, el rango común de ambos conjuntos de soluciones debería ser la respuesta y si ese es el caso, la respuesta debería ser $x \in (-2,2)$ ya que este es el rango que es común a los dos conjuntos de soluciones, pero desafortunadamente la respuesta es diferente.

¿Puede alguien ayudarme en esto y ayudarme con alguna aclaración con en estos casos cómo se decide el conjunto de soluciones?

Answer 1

Debe tomar la unión de las dos regiones, ya que quiere recoger todas las posibles $x$ para que las condiciones se cumplan.

Si lo hace, obtendrá $(-\infty, 2\sqrt2) \cup (2(1+\sqrt{3}, \infty)$ .

Answer 2

Parece que has tomado el rango común a los dos conjuntos de soluciones. Es decir, has tomado la intersección de los dos conjuntos, lo que también se hace incorrectamente porque la intersección de los dos casos que has tomado es un conjunto nulo porque esas dos condiciones no pueden ser verdaderas simultáneamente. $x^2-2x-8 \geq 0 $ Y $x^2-2x-8 < 0 $ no es posible. $$ \{x^2-2x-8 \geq 0 \} ~ \cap ~ \{x^2-2x-8 < 0 \} = \phi$$ El conjunto de soluciones finales que se busca es la unión de los dos conjuntos, ya que o bien $x^2-2x-8 \geq 0 $ O $x^2-2x-8 < 0 $ . O significa que se debe tomar la unión de los conjuntos. $$ \{x^2-2x-8 \geq 0 \} ~ \cup ~ \{x^2-2x-8 < 0 \} = (-\infty, 2\sqrt2) \cup (2+2\sqrt{3}, \infty) $$

Answer 3

Considere la primera parte. Usted escribió que se trataba del caso en el que $x^2-2x-8\geqslant0$ . Esto significa que $x\leqslant-2$ o que $x\geqslant4$ . Entonces has resuelto la inecuación $x^2-2x+8>2x$ y deberías haber conseguido que $x>2+2\sqrt3$ o que $x<2-2\sqrt3$ . Por lo tanto, la solución cuando se está en la primera situación es que $x\in(-\infty,-2]\cup\left[2+2\sqrt3,\infty\right)$

Ahora, la segunda parte. Afirmando que $x^2-2x-8<0$ significa que $x\in(-2,4)$ . Y afirmando que $-(x^2-2x-8)>2x$ significa que $x\in\left(-2\sqrt2,2\sqrt2\right)$ . Por lo tanto, la solución cuando se está en la segunda situación es que $x\in\left(-2,2\sqrt2\right)$ .

Por lo tanto, la respuesta global es que $x\in\left(-\infty,2\sqrt2\right]\cup\left[4,\infty\right)$ .