Tengo que resolver este ejercicio:
Ejercicio:
Si es posible, encontrar la solución general es una de la siguiente ecuación:
$$ y'' + 3ty' + t^2y = 0, -\infty < t < \infty $$ donde $y$ es una función de $t$ .
Mi solución:
Establecer $x = \dfrac{1}{2}t^2$ . Entonces $\dfrac{dx}{dt} = t$ y $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt} = t \dfrac{dy}{dx}$ y $\dfrac{d^2y}{dt^2} = \dfrac{d}{dt}\big(\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\big) = \dfrac{dy}{dtdx}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dx}\dfrac{d^2x}{dt^2} = t^2\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{dy}{dx}\dfrac{d}{dt}t = t^2\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{dy}{dx}$ . Si sustituimos esto en la ecuación obtenemos $$ t^2\dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} + 3t^2\dfrac{dy}{dx} + t^2y = 0 $$
No soy capaz de resolver la ecuación a partir de este punto y el libro de texto dice que no hay solución general.
Pregunta: ¿Cómo puedo conozca ¿que no hay una solución general? ¿Cómo sé que puedo dejar de buscar?
