Encuentra la ecuación de la recta tangente

Question

Encuentra la ecuación de la recta tangente a $f(x) = \tan x$ en $x = \frac{\pi}{4}$ .

Estoy tratando de incorporar la fórmula del punto de pendiente utilizando $f'(x) = \sec^2 x$ pero no estoy cerca.

Answer 1

En $x = \pi/4,\;$ $f(x) =y = \tan(\pi/4) = 1$ .

Así que $(\pi/4, 1)$ es el punto de tangencia de $f(x)$ y la línea deseada, lo que significa que es ciertamente un punto en la línea deseada.

Ahora, $f'(x) = \sec^2(x)$ . En $x = \pi/4$ , $$f'(x) = \sec^2(\pi/4) = \frac{1}{\cos^2(\pi/4)} = \left(\sqrt 2\right)^2 = 2$$ Por tanto, la pendiente de la recta tangente en el punto dado es $m = 2$ .

Ahora utiliza la forma punto-pendiente de una ecuación de una recta, ya que has necesitado el punto $(\pi/4, 1) = (a, b)$ y la pendiente $m = 2$ :

$$(y - a) = m(x - b)$$

$$\begin{align} y - 1 = 2(x - \pi/4) & \iff y = 2x + (1 - \pi/2) \\ \\ &\iff y= 2x + \frac{2-\pi}{2}\end{align}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenemos $$f'\left(\frac\pi4\right)=\frac{y-f\left(\frac\pi4\right)}{x-\frac\pi4}$$

Answer 3

La línea tangente está descrita por la ecuación: $$y=mx+b.$$ Y sabemos que la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en un punto $(x_0, f(x_0))$ es la derivada de $f(x)$ evaluado en $x_0$ Es decir: $$m=f'(x_0).$$ ¡Así que vamos a encontrarlo! $$m=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan(x)\left|\right._{x={\pi}/{4}}=\sec^2\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2.$$ Esta línea tangente pasa por el punto $\big(\pi/4, \tan(\pi/4)\big)=(\pi/4,1)$ . Por la fórmula del punto de inclinación: $$y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y-1=2(x-\pi/4).$$ Reordenando obtenemos: $$y=2x+\dfrac{2-\pi}2$$ que es nuestra ecuación deseada.

Answer 4

Ecuación de la tangente en $x=x_0$ viene dada por $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

Ahora pon $x=\frac{\pi}{4}$