límite de la integral $n\int_{0}^{1} x^n f(x) \text{d}x$ como $n\rightarrow \infty$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema a nivel de análisis de un estudiante de último año. El problema es el siguiente: Se nos da una función $f$ que es continua en el intervalo $\left [ 0,1 \right ]$ y la cuestión es encontrar el límite: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx\;.$$ La segunda parte del problema consiste en deducir el siguiente límite: $$\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx\;.$$

Para la primera parte: Acabo de hacer lo siguiente: Para cada $0\leq x< 1$ : $x\leq M$ , donde $0< M< 1$ . Entonces: $$\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx\leq M^{n}\int_{0}^{1}f(x)dx\;.$$ Entonces: $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx\leq \lim_{n\rightarrow \infty }M^{n}\int_{0}^{1}f(x)dx= 0.\int_{0}^{1}f(x)dx=0\;,$$ así que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }f(1)\int_{0}^{1}1dx=f(1)\;.$$ ¿Tiene sentido? Si no es así, por favor muéstrame la correcta.

En cuanto a la segunda parte, no tengo ni idea de qué hacer. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Para la primera parte, utilice el hecho de que una función continua sobre $[0,1]$ está acotado, digamos $|f(x)|\le M$ . Entonces $$ \Bigg|\int_0^1 x^nf(x)\,dx\Bigg|\le\int_0^1 Mx^n\,dx =\frac{M}{n+1}\to 0 \quad\text{as}\quad n\to\infty. $$

Para la segunda parte $\dots$ $$ n\int_0^1 x^nf(x)\,dx = n\int_0^1 x^n\Big(f(x)-f(1)\Big)\,dx + \frac{n}{n+1}f(1). $$ El último término tiende a $f(1)$ como $n\to\infty$ . Para demostrar que el primer término de la derecha tiende a cero, supongamos $\varepsilon>0$ . Elija $a<1$ para que $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ para $a<x<1$ . Entonces $$ \Bigg|\,n\int_0^1 x^n\Big(f(x)-f(1)\Big)\,dx\Bigg| \le \,n\int_0^a x^n\Big|f(x)-f(1)\Big|\,dx+ \,n\int_a^1 x^n\Big|f(x)-f(1)\Big|\,dx\\ \le 2M\frac{n}{n+1}a^n + \frac{n}{n+1}\varepsilon $$ y esto tiende a $\varepsilon$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

En cuanto a la segunda pregunta: La integral se puede calcular fácilmente de forma explícita cuando $f$ es un polinomio, y entonces se calcula el límite. Como la integral $n\int_0^1 x^n dx$ está limitada por encima por $1$ el teorema de aproximación de Weierstrass puede aplicarse para tratar con continuos generales $f$ .

Answer 3

Para la segunda parte, podemos encontrar el límite utilizando un pequeño análisis funcional. Denotemos con $A_n:C[0,1] \to \mathbb{C}$ operador lineal $A_n(f)=n\displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\, dx$ . Vemos que

$$\| A_n f \|_{\mathbb{C}} = |A_n (f)|=\left\lvert n\int_0^1 x^n f(x)\, dx\right\rvert \leqslant n \|f\|_{\infty} \int_0^1 x^n \, dx=\frac{n}{n+1}\| f\|_{\infty} < \|f\|_{\infty},$$

así que $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \|A_n \| < +\infty$ .

Ahora, vamos a comprobar nuestro operador en el conjunto fundamental $\{x \mapsto x^k \mid k \in \mathbb{N}_0\}$ (porque $\overline{\operatorname{span}\{x \mapsto x^k \mid k \in \mathbb{N}_0\}}=C[0,1]$ ):

$$\lim_{n\to \infty}A_n(x^k)=\lim_{n\to \infty} n \int_0^1 x^n x^k\, dx=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+k+1}=1=x^k(1).$$

El teorema de Banach-Steinhaus nos da que existen límites y

$$\lim_{n \to \infty} A_n(f)=f(1).$$

Answer 4

Para la segunda parte, fija $M = 1 - 1/n^2$ y mira las integrales $n\int_0^M x^n f(x)dx + n\int_M^1 x^nf(x)dx$ . La izquierda está limitada por encima por

$$ n\int_0^M x^nf(x)dx \leq nM^n\int_0^M f(x)dx \leq n(1 - \frac{1}{n^2})^n \int_0^M f(x)dx = Cn(1 - \frac{1}{n^2})^n $$

El segundo está delimitado por

$$ n\int_M^1 x^n f(x)dx \leq n\int_1^M f(x)dx = n(1-M) = \frac{1}{n} \rightarrow 0. $$

A qué tiende la integral superior como $n \rightarrow \infty$ ? Parece que debería converger a 0, pero no estoy seguro.

Answer 5

En su respuesta, John Dawkins se aproximó $f$ por polinomios, pero en realidad basta con aproximar $f$ por $C^1$ -(para ello, utilice la continuidad uniforme para aproximar $f$ por funciones constantes a trozos, y luego utilizar funciones de bacheo ). En efecto, si suponemos sin pérdida de generalidad que $f$ es $C^1$ tenemos gracias a una integración por partes:

$$n \int_0^1 t^nf(t)dt= \int_0^1 (n+1)t^nf(t)dt - \int_0^1 t^nf(t)dt = f(1) - \int_0^1 t^{n+1}f'(t)dt - \int_0^1 t^nf(t)dt.$$

Ahora aplique la primera parte a $f$ y $f'$ para demostrar que las dos últimas integrales desaparecen como $n \to + \infty$ .