¿Cuándo debo recurrir a la identidad de Eulers?

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Calcula:

$$\int_0^{+\infty} \frac{x^{\frac{1}{3}}\sin (x+\frac{\pi}{3})}{x^2+1}\operatorname dx$$

Utilizando el contorno-integral $\int_{\Gamma} \frac{z^{\frac{1}{3}}e^{i(z+\frac{\pi}{3})}}{z^2+1}\operatorname dz$ de la siguiente manera:

He evaluado la integral usando el teorema del residuo, he probado $\int_{\Gamma_1}f(z)\operatorname dz \to 0$ y $\int_{\Gamma_2}f(z)\operatorname dz \to 0$ .

Pero he encontrado un problema en las partes restantes:

$$\int_{\Gamma_3} f(z) \operatorname dz = \int_R^\delta \frac{(-x)^{\frac{1}{3}} e^{i(-x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d (-x) \qquad \int_{\Gamma_4} f(z) \operatorname dz = \int_R^\delta \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{i(x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$

La segunda integral me parece bien, pero la primera me da dolor de cabeza.

opción 1:

$$\int_R^\delta \frac{(-x)^{\frac{1}{3}} e^{i(-x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d (-x) = -\int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x-\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$ $$= -\int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x+\frac{\pi}{3})}e^{i\frac{2\pi}{3}}}{x^2-1}\operatorname d x$$ $$= -e^{i\frac{2\pi}{3}}\int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$

opción 2:

$$\int_R^\delta \frac{(-x)^{\frac{1}{3}} e^{i(-x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d (-x) = \int_\delta^R \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x-\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$ $$= \int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x-\frac{2\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$ $$= \int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x+\frac{\pi}{3})}e^{i\pi}}{x^2-1}\operatorname d x$$ $$= -\int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{-i(x+\frac{\pi}{3})}}{x^2-1}\operatorname d x$$

Esas soluciones no pueden ser iguales, ¿verdad? ¿Cuál es la causa de este problema?

Creo que tiene que ver con la $(-x)^{\frac{1}{3}}$ es igual a $-x^{\frac{1}{3}}$ o $e^{i\frac{\pi}{3}}x^{\frac{1}{3}}$ ? ¿Cuándo debo utilizar la identidad de Euler?

EDITAR

Gracias por su respuesta, Michael. No lo entiendo del todo. Y me gustaría ilustrar con otro problema relacionado.

Integrar sobre la curva $\Gamma$ :

$$\int_{\Gamma} \frac{z^{\frac{1}{3}}}{z^2+z+1} \operatorname dz$$

Después de encontrar los polos, calcular el residuo, etc... Llego a los contornos restantes $\Gamma_1$ y $\Gamma_3$ . $$\int_{\Gamma_1} f(z) \operatorname d z = \int_\delta^R \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2+x+1}\operatorname d x \qquad \int_{\Gamma_3} f(z) \operatorname d z = \int_R^\delta \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2+x+1}\operatorname d x$$

Y una vez más la última integral no puede ser correcta. Supongo que debería ser $x^\frac{1}{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$ ?

Pero la razón no está clara. ¿Por qué utilizar $e^{i2\pi}$ en $\Gamma_3$ y no en $\Gamma_1$ ?

Answer 1

En la región delimitada por el camino, $(-x)^{1/3}=e^{i\pi/3}x^{1/3}$ por continuidad. La raíz cúbica tiene un corte desde el origen hasta $-i\infty$ .
Cuando se hace el recorrido en el semiplano inferior, $(-x)^{1/3}=e^{-i\pi/3}x^{1/3}$ por la misma razón, y la raíz cúbica tiene un corte de $0$ a $+i\infty$ .