Calcular un límite $\lim_{x\to\frac 1{e}}\frac{\ln x}{1+\ln x}$

Question

Dejemos que $f(x)=|\frac{\ln (|x|)}{1+\ln(|x|)}|\space\space\space\space\space\forall\space\space x\in\mathbb{R}\setminus\{-\frac 1e,0,\frac 1e\}$ . Quiero definir esta función.

Así que primero tomé la función:

$g(x)=\frac {\ln x}{1+\ln x}\space\space\space\forall\space\space x>0, x\neq\frac 1e$ .

$g'(x)=\frac 1{x(1+ \ln x)^2}>0 \space\space\space\space\forall\space\space x>0 ,x\neq\frac 1e.$

así que $g$ es estrictamente creciente y $\lim_{x\to0^+}g(x)=1=\lim_{x\to\infty}g(x).$

Ahora, ¿cómo puedo calcular los límites en $x=\frac 1e$ de ambos lados y por qué son diferentes? También cuando hago límites de funciones ejemplo cuando tenía $\frac {\infty}{\infty}$ cuando $x\to0$ y $x\to\infty$ ¿puedo utilizar l'hospital para calcularlos? ¿Y si no utilizo L'hospital para calcular dichos límites?

Answer 1

Sugerencia: haga una sustitución $t = \ln x$ .

Así que calcula:

$$\lim_{x\to\frac 1{e}}\frac{\ln x}{1+\ln x}= \lim_{t\to -1}\frac{t}{1+t}$$

Ahora este límite claramente no existe. El límite izquierdo es $+\infty$ y a la derecha $-\infty$ .

Answer 2

Pero $$\ln\left(\frac{1}{e}\right)=-1$$ y su denominador es Cero, no puede utilizar las reglas de L'Hospital. Si $x$ tiende a Cero obtenemos

$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$ Lo mismo que $x$ tiende al infinito.

Answer 3

Primero: Recordemos que $\ln(x)$ es monotónicamente creciente en su dominio de $(0, \infty)$ .

Siguiente: Tenga en cuenta que $\ln(1/e) = \ln(e^{-1}) = -1 \ln(e) = -1$ .

Cuando $x < 1/e$ por sólo un poco, $\ln(x) < -1$ por sólo un poco. Y así acercarse a su límite de $1/e$ de la izquierda, encontramos un numerador que se acerca a $-1$ y un denominador muy cercano a $0$ pero ligeramente negativo; así, los negativos se anulan y dan una relación que se aproxima a $+\infty$ .

Cuando $x > 1/e$ por sólo un poco, $\ln(x) > -1$ por sólo un poco. Y así acercarse a su límite de $1/e$ de la derecha, nos encontramos con un numerador que se acerca (de nuevo) a $-1$ y un denominador muy cercano a $0$ pero ligeramente positivo; por lo tanto, el $-1$ dividido por algo que se aproxima $0$ pero positivo arroja un ratio que se aproxima a $-\infty$ .

Para ver una gráfica de esta función, así como su asíntota vertical en $x = 1/e$ , comprueba aquí .

Answer 4

Tenemos que el numerador

• $\ln x \to -1$

y el denominador

• $1+\ln x \to 0$

pero

• $1+\ln x>0$ para $x\to \frac1e^+$

• $1+\ln x<0$ para $x\to \frac1e^-$

por lo que podemos concluir que le límite no existe.