Homomorfismo entre grupos abelianos G y H

Question

Demuestra el siguiente lema:

Dejemos que $G, H$ sean grupos abelianos y que $\phi : G \to H$ sea un homomorfismo. Entonces $\phi(n g) = n \phi(g)$ para todos $g \in G$ , $n \in \Bbb Z$ .

¿Podría alguien echar una mano en esto? Estoy mal

Answer 1

Una pista: Para números enteros positivos $n$ , tenga en cuenta que $$ng = \overbrace{g + g + \cdots + g}^{n \text{ times}}$$ y recordar la definición de un homomorfismo. Para los números enteros negativos, observe que $(ng) + (-ng) = 0_G$

Answer 2

En primer lugar, recuerda lo que $ng$ significa. Dado $n \in \mathbb Z$ y $g \in G$ tenemos que $$ng := \begin{cases} \underbrace{g + g + \ldots + g}_{n \text{ times}} & \text{, if } n > 0, \\ 0 & \text{, if } n = 0 \text{ and } \\ \underbrace{(-g) + (-g) + \ldots + (-g)}_{-n \text{ times}} & \text{, if } n < 0 \end{cases}$$

Permítanme demostrar por inducción en $n \in \mathbb Z^{+}$ (es decir $n \in \mathbb Z$ y $n > 0$ ) que $\phi(ng) = n \phi(g)$ . El caso $n = 0$ es trivial y dejaré el caso $n < 0$ a usted (aquí utilice una inducción en $-n$ y un argumento muy similar).

Si $n = 1$ entonces $ng = g$ y por lo tanto $\phi(ng) = \phi(g) = n \phi(g)$ .

Por lo tanto, supongamos que el resultado es válido para $n$ . Entonces $$\begin{align*} \phi((n+1)g) &= \phi(ng + g) \\ &= \phi(ng) + \phi(g) \\ &\overset{\text{induction hypothesis}}{=} (n \phi(g)) + \phi(g) \\ &= (n+1) \phi(g) \end{align*}$$ Q.E.D.