$X_n$ iid Poisson( $\lambda$ ) con $\lambda>0$ . Demostrar que $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n\ln(\ln n)}{\ln n}=1$ a.s

Question

Dejemos que $X_n$ sean variables aleatorias Poisson iid con parámetro $\lambda>0$ . Demostrar que $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n\ln(\ln n)}{\ln n}=1$ con probabilidad 1.

Intenté utilizar los lemas primero y segundo de Borell Cantelli de forma habitual. La distribución es de Poisson, por lo que los cálculos se volvieron muy complicados, y me di por vencido. Cualquier otra forma o enfoque es bienvenido. Mi objetivo es mostrar $P(\frac{X_n\ln(\ln n)}{\ln n}\geq1+\epsilon \mbox{ infinitely often})=0$ y $P(\frac{X_n\ln(\ln n)}{\ln n}\geq1-\epsilon \mbox{ infinitely often})=1$ para concluir el resultado pero de nuevo no pude continuar después de algún punto. Tal vez hay otra manera

Gracias,

Answer 1

Lo que parece faltar son buenas estimaciones de $P(X_n\geqslant c)$ cuando $c\to\infty$ . Considera que $P(X_n=x+1)=P(X_n=x)\cdot \lambda/x\leqslant1/2$ si $x\geqslant2\lambda$ por lo tanto, para cada $c\geqslant2\lambda$ , $$ P(X_n=c)\leqslant P(X_n\geqslant c)\leqslant P(X_n=c)\,\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots\right)=2P(X_1=c). $$ Además, si $c=a\log n/\log\log n$ entonces $c\log c=a\log n+o(\log n)$ de ahí la forma débil de la fórmula de Stirling $\log c!\sim c\log c$ produce $$ P(X_n=c)=\mathrm e^{-\lambda}\lambda^c/c!=\mathrm e^{-c\log c+o(c\log c)}=n^{-a+o(1)}, $$ a partir de la cual la convergencia o divergencia de la serie $\sum\limits_nP(X_n\geqslant a\log n/\log\log n)$ se puede deducir para cada $a\ne1$ .