Independencia lineal de la base del espacio de Eisenstein

Question

Estoy leyendo el libro de Diamond y Shurman "A First Course on Modular Forms". En la página 129 el teorema 4.5.2 dice

Dejemos que $ N $ sea un número entero positivo y que $ k \geq 3 $ . El conjunto $$ \left\{E_{k}^{\psi,\varphi,t}\ |\ (\psi,\varphi,t) \in A_{N,k} \right\} $$ es una base de $ \mathcal{E}_{k}(\Gamma_{1}(N)) $ ,

donde $ A_{N,k} $ se define como el conjunto de triples $ (\psi,\varphi,t) $ tal que $ \psi $ y $ \varphi $ son caracteres primitivos de Dirichlet módulo $ u $ y $ v $ respectivamente, de manera que $\varphi(-1) \psi(-1) = (-1)^k$ y $ t $ un número entero positivo tal que $ tuv \mid N $ . Se nos da que $ \textit{dim}(\mathcal{E}_{k}(\Gamma_{1}(N)) = |A_{N,k}|$ Así que todo lo que queda es demostrar la independencia lineal. Tenemos que $$ E_{k}^{\psi,\varphi,t} = \delta(\psi)L(1-k,\varphi) + 2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{\substack{m \mid n \\ m > 0}} \psi(n/m)\varphi(m)m^{k-1}\right)q^{nt} $$ donde $$ \delta(\psi) = \left\{\begin{array}{c} 1 \textit{ if } \psi \textit{ is trivial }\\ 0 \textit{ otherwise } \end{array} \right\} $$ y $ q = e^{2\pi iz} $ . Así que he empezado por observar que el primer término es bonito, es decir $$ \delta(\psi)L(1-k,\varphi) + 2q^{t} .$$ Quiero decir que no hay más valores de $ n $ anular la $ n = 1 $ valor, por lo que sólo hay que demostrar la independencia lineal de la $ n = 1 $ término. Sin embargo, no he podido comprobar si esto es así. El libro se salta la prueba y no he podido encontrar nada en Internet. Si alguien es capaz de demostrar la independencia lineal o conoce una prueba, le estaría muy agradecido.

Answer 1

Siguiendo la pista del comentario de @cfairwea, no es muy difícil comprobar que si $(\varphi', \psi') \ne (\varphi, \psi)$ entonces para cualquier $t$ y $t'$ la serie $E_k^{\varphi, \psi, t}$ y $E_k^{\varphi', \psi', t'}$ tienen diferentes valores propios para los operadores de Hecke alejados de $N$ y, por tanto, no puede haber ninguna relación de dependencia lineal no trivial entre ellos. Por lo tanto, basta con demostrar que el $E_k^{\varphi, \psi, t}$ para un par fijo $(\varphi, \psi)$ y diferentes valores de $t$ son linealmente independientes; y esto no es tan difícil (ya has empezado con buen pie).