Por definición, la parábola es el lugar de los puntos que equidistan de un punto dado (foco) y de una recta dada (directriz).
Elija el marco de coordenadas tal que la directriz sea paralela a la $Y$ eje que corre a la distancia de $\frac{p}{2}$ por debajo de ella, es decir $x_d=-\frac{p}{2}$ y que el foco esté en $F(\frac{p}{2},0)$ . Entonces, para un punto arbitrario $M(x,y)$ en la parábola: $$\left|x+\frac{p}{2}\right|=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}$$ Elevando al cuadrado y expandiendo el lado derecho obtenemos, después de algunas cancelaciones, el ecuación canónica de la parábola : $$y^2=2px$$ Debes trabajar el cálculo y hacer el dibujo para entender bien la elección del marco y la constante.
Ahora bien, en tu caso la orientación de la parábola es claramente la misma que en la derivación canónica, por lo que los desplazamientos a lo largo del eje vertical son irrelevantes. Después de desplazar el marco a lo largo de $X$ a la derecha por 4 también vemos que $p=2$ . El resto debería seguir fácilmente.
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- Enfoque $(3,0)$ y $x=-3$ es la directriz
En este caso $\frac{p}{2}=3$ por lo que la ecuación es $y^2=12x$
- Enfoque $(0,2)$ y $y=-2$ es la directriz
$\frac{p}{2}=2$ y los papeles de las coordenadas se intercambian, por lo que $x^2=8y$
- Vértice (creo que es el vértice, el punto más bajo/más alto) $(1,2)$ y $x=-1$ es la directriz
$\frac{p}{2}=1$ y también tenemos que hacer un desplazamiento vertical para que $y\to y-2$ Por lo tanto $(y-2)^2=2x$
- Cuál es el foco y la directriz de la parábola $(y-2)^2 = 4(x-4)$
Mover el origen a $(4,2)$ temporalmente cambiando las coordenadas $x_1=x-4$ , $y_1=y-2$ . En las nuevas coordenadas la ecuación es $y_1^2=4x_1$ Así que $p=2$ . La directriz viene dada por la ecuación $x_1=-1$ y el foco está en $(1,0)_{(x_1,y_1)}$ . Volviendo a $x$ y $y$ obtenemos $x=3$ y el foco está en $(5,2)$
