Supongamos que f>0 en $(1,\infty)$ y $\lim_{x\to\infty}{\frac{xf'(x)}{f(x)}} \in (1,\infty)$ . Demostrar que $\frac{x}{f(x)}$ es decreciente en $(b,\infty)$ para algún b>1.
Intento construir una contradicción mostrando que no es decreciente, entonces ... Pero hasta ahora no tengo ninguna idea concreta. ¿Alguien puede darme alguna pista?
Supongo que $f$ es diferenciable.
Tenga en cuenta que, para $g$ definido por $g(x) = \frac{x}{f(x)}$ en $(1,\infty)$ (bien definido como $f>0$ por supuesto), tenemos que $g$ es diferenciable, con $$ g'(x) = \frac{f(x)-x f'(x)}{f(x)^2} = \frac{1}{f(x)}\left(1-\frac{xf'(x)}{f(x)}\right) $$ por cada $x>1$ . Por nuestra otra suposición, existe $\ell>1$ tal que $$ \lim_{x\to\infty} \left(1-\frac{xf'(x)}{f(x)}\right) = 1-\ell < 0 $$ y por lo tanto existe algún $b>1$ tal que $\left(1-\frac{xf'(x)}{f(x)}\right) \leq \frac{1-\ell}{2} < 0$ para todos $x>b$ .
De ello se desprende que $g'(x) < 0$ por cada $x>b$ , lo que le permite concluir.
Ya que se le da $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x f'(x)}{f(x)} > 1$ entonces asumo que $f$ debe ser diferenciable, ya que de lo contrario esa condición dada no tendría sentido.
Considera entonces $$\frac d{dx}\left(\frac x{f(x)}\right) = \frac{f(x) - xf'(x)}{f(x)^2} = \frac1{f(x)}\left(1 - \frac{xf'(x)}{f(x)}\right).$$
Desde $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{x f'(x)}{f(x)} > 1$ debe haber algún valor de $b$ tal que...
¿Puedes llevarlo desde aquí?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
