Comienzo con esta simple observación: la matriz tridiagonal $$A_k=\begin{pmatrix}0 & 1 & & & \\ 1 & 0 & 1 & & \\ & 1 & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & & 1 \\ & & & 1 & 0\end{pmatrix}$$ , $A_k\in \mathbb{R}^{(k+1)\times (k+1)}$ tienen el mayor valor propio $\lambda_\max (A_k) =2\cos{\frac{\pi}{k+2}}$ .
Nos centraremos en las submatrices con entradas grandes de $M_n$ . Cuando hay $k$ entradas grandes consecutivas : $ \forall i\leq k$ $X_{a+i}\geq C $ para algunos $a$ asumiremos que $X_{a+i} = C$ para todos $i$ y escribir $CA_k$ . Esto no es cierto, pero es sólo para simplificar la discusión. Entonces tenemos $$ M_n = \begin{pmatrix}\ddots & \\ & C_1A_{k_1} \\ & & \ddots \\ & & & C_2 A_{k_2} \\ & & & & \ddots \\ & & & & & . \end{pmatrix} $$ donde $\ddots$ tienen entradas pequeñas (digamos $\mathcal{O}(1)$ ) y $C_i\gg 1$ . El mayor valor propio provendrá de estas submatrices $$\lambda_\max (M_n) \approx \max_j \lambda_{\max}(C_j A_{k_j})=\max_j 2 C_j\cos(\frac{\pi}{k_j+2})$$
Para los grandes $n$ el comportamiento dependerá de la cola de la variable aleatoria $X_1$ .
Consideramos primero el caso de la cola polinómica : $\mathbb{P}(X \geq K)\sim \frac{1}{K^\alpha}$ .
Para cualquier $k$ , $\lambda_{\max}(C A_{k})\geq K\Leftrightarrow C \geq \frac{K}{2\cos(\frac{\pi}{k+2})}$ y estimamos $$\mathbb{P}(\forall i\leq k, X_k \geq \frac{K}{2\cos(\frac{\pi}{k+2})}) = \Big(\frac{2\cos(\frac{\pi}{k+2})}{K} \Big)^k$$ Para $K\rightarrow \infty$ se puede ver que el caso $k=1$ tienen la probabilidad mucho mayor y deducimos que en esta situación basta con considerar sólo $k=1$ submatrices. Conclusión para la cola del polinomio tenemos $$\lambda_\max (M_n) \approx \max_j X_j \sim n^{1/\alpha}$$ (Porque hay $n$ iid $X_j$ , establecemos $K=n^{1/\alpha}$ tal que $\mathbb{P}(X_1 \geq K)=\frac{1}{n}$ ).
Consideramos ahora el caso de la cola exponencial : $\mathbb{P}(X \geq K)\sim \exp(-\gamma K)$ .
Estimamos que $$\mathbb{P}\Big(\forall i\leq k, X_k \geq \frac{K}{2\cos(\frac{\pi}{k+2})}\Big) = \exp\Big(-\frac{\gamma k K}{2 \cos(\frac{\pi}{k+2})} \Big)$$ Todavía aquí para $K\rightarrow \infty$ el caso $k=1$ tienen una probabilidad mucho mayor. Conclusión para la cola exponencial tenemos $$\lambda_\max (M_n) \approx \max_j X_j \sim \frac{\log(n)}{\gamma}$$ (ponemos $K$ tal que $\mathbb{P}(X_1 \geq K)=\frac{1}{n}$ ).
Seguimos con el caso de la cola superexponencial : $\mathbb{P}(X \geq K)\sim \exp(-K^\gamma)$ .
Tenemos $$\mathbb{P}\Big(\forall i\leq k, X_k \geq \frac{K}{2\cos(\frac{\pi}{k+2})}\Big) = \exp\Big(-\frac{ k }{2^\gamma \cos(\frac{\pi}{k+2})^\gamma}K^\gamma \Big)$$ Aquí hay un $k^*$ que maximizan $\frac{k}{\cos(\frac{\pi}{k+2})^\gamma}$ que tienen una probabilidad mucho mayor para $K\rightarrow \infty$ . También fijamos $K$ tal que este evento es de orden $1/n$ y entonces para la cola sup-exponencial tenemos $$\lambda_\max (M_n) \sim \frac{2\cos(\frac{\pi}{k^*+2})}{(k^*)^\frac{1}{\gamma}}\log(n)^{\frac{1}{\gamma}}$$
Por último, en el caso de que haya un límite $X$ para cualquier $\epsilon>0$ y $k$ podemos encontrar $a$ tal que $\forall i\leq k, X_{a+i}\geq \|X\|_\infty-\epsilon$ con una probabilidad que va a $1$ como $n\rightarrow \infty$ . Entonces $$2 \|X\|_\infty \geq \lambda_\max (M_n) \geq 2 (\|X\|_\infty-\epsilon) \cos(\frac{\pi}{k+2}) $$ y obtenemos $\lambda_\max (M_n) \rightarrow 2 \|X\|_\infty$ .
