Recomiendo al menos dos libros, Formas cuadráticas binarias por Duncan A. Buell, y Formas cuadráticas binarias de Buchmann y Vollmer. Buell lo explica mejor.
Teniendo en cuenta algunos $n,$ que es $2$ en su caso, encontramos la solución más pequeña para $$ u^2 - n v^2 = 1 $$ con ambos $u,v > 0.$ El hecho de que siempre haya una solución no trivial requiere varios pasos.
Obtenemos el generador del grupo de automorfismo, $$ A = \left( \begin{array}{cc} u & nv \\ v & u \end{array}\right). $$ Los valores propios son $\lambda = u + v \sqrt n$ y $1/\lambda = u - v \sqrt n,$ y satisfacen $$ \lambda^2 - 2 u \lambda + 1 = 0. $$ Dividir por $\lambda^2$ para confirmar que $$ \frac{1}{\lambda^2} - 2 u \frac{1}{\lambda} + 1 = 0. $$ Los vectores propios son $$ \left( \begin{array}{c} \sqrt n \\ 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{c} - \sqrt n \\ 1 \end{array}\right). $$ No son ortogonales, pero son una base del espacio vectorial $\mathbb R^2.$ Cualquier vector de columnas $$ \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) $$ puede escribirse como una combinación lineal de esas dos. Es bastante fácil de comprobar, $$ A^2 - 2 u A + I = 0. $$ Por lo tanto, si $$ w = \left( \begin{array}{c} x_j \\ y_j \end{array}\right), \; \; A w = \left( \begin{array}{c} x_{j+1} \\ y_{j+1} \end{array}\right), \; \; A^2 w = \left( \begin{array}{c} x_{j+2} \\ y_{j+2} \end{array}\right), $$ encontramos $$ A^2 w = 2 u A w - w, $$ y su recurrencia sigue.
También se puede confirmar fácilmente que $$ x_{j+2}^2 - n y_{j+2}^2 = x_{j+1}^2 - n y_{j+1}^2 = x_{j}^2 - n y_{j}^2. $$
Si su $ x_{j}^2 - n y_{j}^2$ fueran otra cosa que $\pm 1,$ habría un problema exactamente en este punto, porque no es el caso en general que todas las soluciones de una variante de Pell, con otra mano derecha, esté en la órbita de automorfismo de un único vector semilla. Sin embargo, como ha $x^2 - n y^2 = -1,$ se deduce, después de bastante detalle, que sólo hay una órbita: todas las soluciones suceden así, permitir entradas negativas no cambia nada y así sucesivamente. Obsérvese también que cuando tenemos $x^2 - n y^2 = -1$ con un mínimo de positivos $x,y,$ se deduce que $$ u = x^2 + n y^2, \; \; \; v = 2 x y. $$
El jueves. Puede ayudar a señalar que, por algún problema $x^2 - n y^2 = k,$ el formalismo anterior da una conjunto finito de secuencias $(x_j,y_j)$ de soluciones que sí satisfacen la recurrencia de grado dos. Lo que ocurre es que, si se ponen todas las $x$ en orden, el efecto es que se mezclan las secuencias, la indexación se desvía y ya no se pueden ver estas relaciones. Pero, si se sabe lo que está pasando, es bastante fácil sacar un conjunto finito de valores semilla para $x.$ Esto ocurriría, por ejemplo, al resolver $$ x^2 - 2 y^2 = 119 = 7 \cdot 17 . $$ Esto se divide naturalmente en cuatro secuencias de soluciones, $$ (11,1); \; (37,25); \; (211,149); \; (1229,869); \ldots $$ $$ (13,5); \; (59,41); \; (341,241); \; (1987,1405); \ldots $$ $$ (19,11); \; (101,71); \; (587,415); \; (3421,2419); \ldots $$ $$ (29,19); \; (163,115); \; (949,671); \; (5531,3911); \ldots $$ Si pones todos los $x$ valores en orden, $$ 11,13,19,29,37,59,101,163,211,341,587,949,1229,1987,3421,5531,\ldots $$ se obtiene $$ x_{j + 8} = 6 x_{j+4} - x_j. $$