Construcción de perpendiculares con calibre y regla

Question

Sólo se puede medir la longitud de algún segmento con un calibre y luego trazarlo a lo largo de la línea ya trazada.

¿Cómo construir una perpendicular desde un punto dado a una línea dada sólo con una regla de calibre?

Mi trabajo.

Ya sé cómo construir una recta, paralela a una dada, a través de un punto dado, y cómo encontrar el punto medio de un segmento dado, así que puedes usar estas construcciones en tus pruebas.

Línea paralela

$l$ - línea dada y $B$ - punto dado. Elijamos puntos al azar $A$ y $M$ y, a continuación, marque el punto $D$ Así que $AM=DM$ . Construir un punto aleatorio $E$ en el rayo $AB$ . Construir $EM$ y $BD$ con intersección en el punto $O$ . Construir $AO$ y $ED$ con intersección en el punto $C$ .

Supongamos que ese punto $C'\in ED$ Así que $BC' \parallel AD$ y luego demostrar que $C = C'$ . En el trapecio $ABC'D$ el punto de intersección de las diagonales, el punto de intersección de los lados laterales y los puntos medios de las bases se encuentran en una línea - $EM$ Así que $OM$ es el punto de intersección de las diagonales, $AC=AC'$ , $C=C'$ y $BC \parallel AD$ .

Punto medio

$AB$ es un segmento dado. Construir al azar $AC$ y marcar el punto $D$ Así que $AC=CD$ . Construir $CM \parallel BD$ . $M$ es el punto medio de $AB$ .

Answer 1

Primer caso: si el punto $P$ se encuentra fuera de la línea $AB$ Aquí se explica cómo se construye $H$ en $AB$ tal que $PH\perp AB$ .

Podemos suponer a WLOG que $PA>PB$ (si $PA=PB$ entonces $H$ es el punto medio de $AB$ ). Construir $C$ sobre el rayo $AP$ tal que $AC=AP+BP$ . Construir $D$ sobre el rayo $AB$ tal que $AD=AP-BP$ . Construir $E$ sobre el rayo $AB$ tal que $AE=2AB$ . Únase a $CE$ y construir la línea a través de $D$ en paralelo a $CE$ , línea de intersección $AP$ en $F$ .

Es fácil demostrar que $$ AF={AP^2-BP^2\over2AB}. $$ Pero, por otro lado: $$ AH={AB\over2}+{AP^2-BP^2\over2AB}. $$ Por lo tanto, si $M$ es el punto medio de $AB$ tenemos $MH=AF$ y señalar $H$ puede construirse así.

Segundo caso: si el punto $P$ mentiras en línea $AB$ , entonces toma cualquier punto $Q$ en el exterior $AB$ y construir $H$ en $AB$ como se ha indicado anteriormente, de forma que $QH\perp AB$ . Construir entonces el punto medio $M$ de $PQ$ y señalar $H'$ , simétrico de $H$ con respecto a $M$ . Línea $PH'$ es entonces la perpendicular requerida, porque $QHPH'$ es un paralelogramo.