No hay buen orden de los reales es Lebesgue medible. Esto es debido fundamentalmente a la Sierpiński, pero por lo general uno encuentra una versión menos en los libros (por ejemplo, en Rudin "Real y el Análisis Complejo"), es decir, que si CH se mantiene, entonces un buen orden de menor tipo de orden es que no se pueden medir.
La prueba es a través del teorema de Fubini. El argumento puede ser hecho más corto, pero déjame ir, en todo detalle, como esta es una pregunta que aparece con cierta frecuencia.
Teorema. No bien el pedido de un no-null conjunto de los reales es Lebesgue medible. No bien-pedido de un no escaso conjunto de reales tiene la
Baire propiedad.
Supongamos que $S\subseteq{\mathbb R}$ es no nulo, $(r_\alpha\mid\alpha<\lambda)$ es bien ordenado enumeración de $S$,$W = \{ (r_\alpha, r_\beta) \mid \alpha<\beta<\lambda\}$. Voy a argumentar que $W$ es no medible. (El
argumento de abajo admite dualization, dando el resultado de la propiedad de Baire.)
Por contradicción, supongamos que hay un mínimo de $\lambda$ tal que para algunos $S$, $(r_\alpha\mid\alpha<\lambda)$, y $W$ como en el anterior, tenemos que $W$ es medible.
Para $\alpha\le\lambda$, vamos a $S_\alpha=\{r_\beta\mid\beta<\alpha\}$$S^\alpha=\{r_\beta\mid\beta>\alpha\}$. Deje $\mu_n$ el valor del $n$-dimensional de la medida de Lebesgue (sólo utilizamos $n=1$ o $n=2$). Para $x\in{\mathbb R}$, vamos a $r^{−1}x$ el valor del $\alpha<\lambda$ tal que $x=r_\alpha$.
Deje $\rho\le\lambda$ ser el primero tal que $S_\rho$ es no nulo. Desde $S = S_\lambda$, $\rho$ existe. Deje $W_\rho=W \cap (S_\rho \times S_\rho)$ e, $\alpha<\rho$ deje $T^\alpha=S^\alpha\cap S_\rho$. Voy a demostrar que $W_\rho$ es que no se pueden medir, y luego usar esto para mostrar la no medición de la $W$.
Supongamos, entonces, que el $W_\rho$ es medible. Tenga en cuenta que $S_\rho=S_{\alpha+1}\cup T^\alpha$ cualquier $\alpha<\rho$ y que, por el teorema de Fubini, para casi todos los $x\in S_\rho$, $T^{r^{−1}x}$ es medible. De ello se desprende que $S_\rho$ sí es medible.
Entonces $$ 0 = \int_{S_\rho}\mu_1(S_{r^{−1}y}) dy $$ and we are done if we can show the outer measure $\mu^*_2$ of $W$ is strictly positive. If it is not, then by the equation above and Fubini's theorem, $\mu_2(W_\rho) = 0$ y, mediante la aplicación del teorema de Fubini de nuevo,
$$ \mu_2(W_\rho) =\int_{S_\rho}\mu_1(T^{r^{−1}x}) dx. $$ But for each $\alfa<\rho$, $\mu_1(S_{\alpha+1}) = 0$ and $T^\alpha=S_\rho\setminus S_{\alpha+1}$, so $\mu_1(T^\alpha) > 0$, and the equation last displayed implies $\mu_2(W_\rho) > 0$.
De ello se desprende que $W_\rho$ es no medible. Si $\rho=\lambda$ hemos terminado, así que supongamos $\rho<\lambda$. Tenga en cuenta que $S$ es medible (argumentando que arriba con $W_\rho$$S_\rho$) y $$0 < μ^*_2(W_\rho)\le \mu_2(W) =\int_S \mu_1(S_{r^{−1}y}) dy $$
y por el teorema de Fubini, debe haber un $\gamma<\lambda$ tal que $S_\gamma$ es no nulo y medibles. Pero, a continuación, $W_\gamma = W \cap (S_\gamma \times S_\gamma)$ bien las órdenes de $S_\gamma$ en el tipo de orden $\gamma$ e es medible.
Pero esto contradice la minimality de $\lambda$, y hemos terminado.
La de arriba es más o menos literal de mi tesis, donde lo incluyó como no pude encontrar argumentos detallados en cualquier lugar me veía, pero algo muy cercano a esto se debe Sierpiński.
Tienes que ir a preguntar acerca de la compatibilidad de los grandes cardenales (o su determinación de consecuencias) con proyectiva bien ordenamientos. Esto no es posible ya que la determinación implica Lebesgue mensurabilidad (y esto va de nivel por nivel; en particular, la DP implica a todos los conjuntos proyectivos son medibles), pero el argumento anterior no muestra bien el pedido de ${\mathbb R}$ es medible. (Un resultado óptimo en términos de cuánto determinación es necesaria para descartar bien ordenamientos de una determinada complejidad es debido a Kechris y es un poco técnica a estado aquí.)
De ello se desprende, por ejemplo, que ningún buen orden de ${\mathbb R}$ pertenece a $L({\mathbb R})$ bajo suave gran cardenal supuestos, como los grandes cardenales nos dan la determinación en $L({\mathbb R})$. Sin embargo, la determinación y grandes cardenales no tienen límite de influencia en mayor pointclasses, y es razonable buscar (consistente) bien ordenamientos de los reales de niza complejidad (necesariamente más allá de la proyectiva) que son compatibles con cualquier gran cardenales. No es un buen resultado de Abraham y Sela lograr esto: En "A $\Delta^2_2$ bien el orden de los reales y incompactness de $L(Q^{MM})$", Ann. Pure Appl. La lógica 59 (1993), no. 1, 1-32, ellos nos demuestran que siempre se puede forzar (por pequeño obligando a) que CH tiene y hay un $\Delta^2_2$ buen orden de los reales. En realidad, $\Sigma^2_1$ no es posible en grandes cardenales si CH sostiene, por un buen resultado de Woodin, por lo que en un sentido, esta es la óptima. En su modelo, $\diamondsuit$ falla, y muchos trabajos se ha ido en el intento de ampliar Woodin el resultado para mostrar que, en particular, $\diamondsuit$ debería ser incompatible con el $\Sigma^2_2$ bien ordenamientos.
