¿Cuál es la definición matemática del argumento principal de un número complejo?

Question

Busco una definición matemática sucinta del "argumento principal" de un número complejo.

Argumento principal de un número complejo, denotado $\operatorname{Arg}(z)$ significa el argumento de un número complejo $\arg(z)$ dentro del rango $(-\pi, \pi]$ .

¿Cómo lo represento matemáticamente?

He intentado usar $\operatorname{Arg}(z) = \arg(z) \in (-\pi, \pi]$ pero esto no tiene sentido.

También hay uno muy complicado en Wikipedia, $\operatorname{Arg}(z) = \{\arg(z) - 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \wedge -\pi < \operatorname{Arg}(z) \leq \pi \}$

Su definición hace que parezca que puede haber múltiples valores de $\operatorname{Arg}(z)$ .

Answer 1

Para cada número complejo $z\in\mathbb C\setminus\{0\}$ hay un único $r>0$ y $\theta\in(-\pi,\pi]$ tal que $z=r\,\exp(i\theta)$ , donde $\exp\colon\mathbb C\to\mathbb C$ es la función exponencial compleja. Ahora se puede definir el argumento principal como $\operatorname{Arg}(z) = \theta$ . El argumento multivalente asigna a $z$ todos los posibles $\theta\in\mathbb R$ tal que $z=r\,\exp(i\theta)$ lo que equivale a $\operatorname{Arg}(z)+2\pi n$ donde $n$ abarca todos los números enteros.

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La definición del argumento principal en términos del argumento multivalente, tal y como se recoge en el artículo de la Wikipedia al que has hecho referencia, es circular y no tiene ningún sentido. Se podría corregir como

$\operatorname{Arg}(z)$ es el único elemento $\theta\in\operatorname{arg}(z)$ tal que $\theta\in(-\pi,\pi]$ .