¿Qué tipo de funciones hay en $L^2(\Omega )-H^{1/2}(\Omega )$ ?

Question

Es bien sabido que una función discontinua no se encuentra en $H^{1/2}(\Omega )$ si $\Omega\subset\mathbb{R}$ es una dimensión.

Mi pregunta es,

Para $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ ¿hay algún ejemplo sencillo de $L^2(\Omega )- H^{1/2}(\Omega )$ ?

Answer 1

Hay ejemplos que son sencillos de enunciar (en $n$ dimensiones): $$f(x) = |x|^{\alpha-n}\chi_{|x|\le 1},\qquad \frac{n}{2}<\alpha\le \frac{n+1}{2}$$ Pero demostrar que $f\notin H^{1/2}$ es un poco incómodo; lo mejor es utilizar la caracterización de la integral de diferencia dividida de $H^{1/2}$ o una formulación relacionada y simplificada en el Ejercicio 33 aquí .

Luego hay ejemplos para los que la prueba es sencilla: $$f(x) = G_\alpha(x),\qquad \frac{n}{2}<\alpha\le \frac{n+1}{2}$$ donde $G_\alpha$ es el Núcleo de Bessel . De hecho, la característica que define a $G_\alpha$ es $$\widehat{G_\alpha}(\xi) = \frac{1}{(1+|\xi|^2)^{\alpha/2}}$$ (hasta las constantes de normalización; véase Stein Integrales singulares por ejemplo). La elección anterior de $\alpha$ se hace para que $\widehat{G_\alpha}\in L^2$ Sin embargo, $$ \int |\xi|\ |\widehat{G_\alpha}(\xi)|^2\,d\xi = \infty $$ que significa $G_\alpha\notin H^{1/2}$ .

Los dos ejemplos están relacionados en que su comportamiento asintótico como $x\to 0$ es el mismo.