Contraejemplos de derivadas - Cálculo

Question

Necesito contraejemplos para lo siguiente (supongo que estas afirmaciones no son correctas):

1. Si $ lim_{n\to \infty} n\cdot (f(\frac{1}{n}) - f(0) ) =0$ entonces $f$ es diferenciable en $x=0$ y $f'(0)=0$ .

2. Si f está definida en una vecindad de $a$ incluyendo $a$ y diferenciable en una vecindad de $a$ (excepto quizás en $a$ mismo), y $lim_{x\to a^- } f'(x) = lim_{x\to a^+} f'(x) $ entonces $f$ es diferenciable en $x=a$ .

3. Si $f$ es dif para todos los $x$ y satisface $lim_{x\to \infty } f'(x) =0 $ entonces existe un número $L<\infty$ para lo cual $ lim_{x\to \infty} f(x)= L$

4. Si $f$ es dif para todos los $x$ y satisface $lim _{x\to \infty} f(x)= L $ entonces $lim_{x\to\infty} f'(x)=0 $ .

5. Si $f $ es dif en $x=0$ y $lim_{x\to 0 } \frac{f(x)}{x} =3 $ entonces $f(0)=0$ y $f'(0)=3$

Pensamientos:

5) Creo que esta afirmación es correcta y se deduce de la unicidad de la derivada... No tengo ni idea de cómo demostrarlo, pero parece razonable

3) ¿No es un contraejemplo para esto es $f(x)=lnx$ ?

4) He intentado utilizar algunas funciones trigonométricas, pero todavía no he conseguido encontrar un contraejemplo

2) Supongo que un ejemplo para esto sería una función que su derivada no está definida en este punto, pero sus límites sí

1) no tengo ni idea... Suena incorrecto (aunque supongo que el otro sentido de la afirmación es correcto)

¿Ayuda?

Gracias.

Answer 1

1. Hay mucho espacio entre $1/n$
2. El único lugar donde se puede equivocar es en $x=a$ . Rómpelo ahí.

Answer 2

$5$ . Piensa que si coges el límite tienes $\frac{0}{0}$ ¿Qué puedes usar entonces?

$4$ . ¿Qué significaría que la derivada fuera positiva o negativa "hasta el infinito"?

$3$ . Su ejemplo funciona bien ya que $\log x$ es diferenciable para todo $x$ en su dominio, es pendiente ir a $0$ y la función crece sin límite.

$2$ . Si una función es diferenciable, entonces es continua. Pensemos en la parábola $f(x)=x^2$ en el origen, piensa en las pendientes a medida que te acercas $0$ de la izquierda/derecha. ¿Hay algo que pueda hacer a la parábola en $0$ para que la afirmación sea falsa?

$1$ . Piensa en la definición derivada.

Answer 3

Para 1, si $\lim_{n\to\infty}n(f(1/n)-f(0))=0$ entonces tenemos $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{\frac{1}{n}}=0$ . Es común suponer que $n$ denota un número natural, pero esto no se indicaba en el enunciado del problema. Así que asumiendo el enunciado más fuerte (es decir, que el límite se toma por $n\in\mathbb{R}$ ) esto equivale a $$\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0.$$ Esto no significa que $\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$ existe. Para un contraejemplo piensa en una función a trozos. Algo como lo siguiente: $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0& :x\geq0\\h(x)&:x<0 \end{array}\right..$$ Obsérvese que esto satisfará las condiciones de 1 independientemente de lo que $h(x)$ es.