¿Cuál es la importancia del uso de "$a$" vs "$x$" en este texto?

Question

Soy un desarrollo web chico en la actualidad el aprendizaje del Cálculo y estoy teniendo algunos problemas para la comprensión de la aparentemente reglas no escritas de las convenciones de nomenclatura de las matemáticas.

He leído varias otras preguntas relativas a las "convenciones de nomenclatura de" aquí (por ejemplo, la pereza por parte de una ecuación del autor, las variables son transitorios, sin sentido, de valores, etc.), pero todavía no tengo la comprensión de la motivación que impulsa a ciertas nombre de la variable de opciones.

Por ejemplo, he encontrado ciertos pasajes de mis libros de texto en los que existe una evidente importancia en la elección del nombre de un autor asigna a una variable. Ser incapaz de entender el proceso de pensamiento implicado en ejemplos como el de abajo es un poco de un impedimento para mi comprensión de los conceptos que están siendo transmitidos.

Como un ejemplo específico, aquí es un extracto de mi libro de texto, "Calculus: Early Trascendentales," 7ª edición por James Stewart (el hombre que construyó el Cálculo de la casa):

En la sección anterior, se considera que la derivada de una functon f en un número fijo de una. $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} {f(a+h)-f(a)\sobre h} $$ Aquí podemos cambiar nuestro punto de vista y dejar que el número de un varían. Si se sustituye una en la Ecuación 1 por una variable x, obtenemos $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h)-f(x)\sobre h} $$

Aquí, Stewart evidentemente tiene algunas interna de la distinción entre una y x, pero no fue mencionado hasta este punto, en el que se le da prácticamente ninguna explicación a parte de decir que una es un número fijo.

Pero parece que es una variable, no es un número fijo. Entiendo que él está hablando acerca de la derivada de una función en un número fijo, como 3, en contraposición a una derivada de una función en un rango de números, pero para alguien con un fondo de desarrollo de software, como yo, la aparentemente arbitrario interruptor en los nombres de variable es confuso.

Hay un poco de la convención universal de las matemáticas para la elección de los nombres de las variables en los diferentes contextos? O es sólo una cuestión de preferencia individual, con una explicación de la opción para el autor individual de la ecuación/fórmula/expresión?

Cualquier ayuda a arrojar luz sobre este tema confuso sería muy apreciado.

Answer 1

En matemáticas, $x$ generalmente denota una variable y $a$ denota una (fijo) constante (sin embargo, cualquier constante).

La idea de que el autor quería dar es que si se puede calcular la derivada en cualquier punto, entonces usted puede considerar la función que envía cada punto de $x$ a la derivada de la $f$ $x$ (función conocida precisamente como la derivada de la $f$).

Answer 2

No hay una real diferencia entre el $x$ $a$ utilizar como nombres de variables. Podemos distinguir entre variables, parámetros, constantes - y, sin embargo, esta distinción no existe en realidad. Esta jerarquía es sólo una costumbre de la orden entre las variables, como es costumbre denotar "más variables" variables con $x$ y "más constante" variables con $a$, dicen. O el uso de $n,m,k$, y en algunos otros de los enteros. De hecho, se podría haber llamado a la función $x$, y el parámetro de $f$ sin producir nada malo y que sólo se convierte en algo ilegible debido a los lectores de las expectativas: $$ x'(f)=\lim_{n\to 0}\frac{x(f+n)-x(f)}{n}$$

Para dar un ejemplo que está más cerca de "su mundo" tal vez: El nombre de host de un servidor web no tienen que empezar con www y la de un servidor de correo que no tienen que empezar con mail. Sin embargo, se acostumbra a ejecutar weservices en www.example.com y de transferencia de correo en mail.example.com en lugar de al revés. Ciertamente funciona bien a la inversa, pero la gente podría confundirse.

Answer 3

Obsérvese que, tal vez de forma algo contraintuitiva, no hay ninguna diferencia real entre "un número fijo $z$ " y "una variable $z$ ". Ambos significan exactamente lo mismo: para un elemento arbitrario $z$ en el ámbito de $f$ , $f'(z)$ se define como tal y tal número real. Lógicamente los "números fijos" y las "variables" tienen la misma semántica y corresponden a la cuantificación universal (para cada $z$ hacemos lo siguiente / se mantiene lo siguiente).

La diferencia está en la pragmática, es decir, en el propósito que queremos señalar al lector (tal vez se puede pensar en esto como la definición de múltiples sinónimos de tipo para el mismo tipo subyacente - se inventan nombres creativos para los tipos básicos para, entre otras cosas, describir mejor lo que hace el código).

"Un número fijo $a$ " señala que el lector debe concentrarse en los valores $f'(a)$ uno en su momento, y la elección del nombre refuerza esta redacción. "Una variable $x$ " significa que el lector debe pensar en $f'(x)$ cambiando como $x$ y sobre la función $f'$ .

En cuanto a la elección de los nombres, es imposible dar reglas rígidas, pero uno se acostumbra a las distintas convenciones de forma inconsciente, y otros ya han dado algunas pautas útiles.

editar : Pasé por alto que la respuesta de Hagen von Eitzen hace el mismo punto sobre las variables y las constantes que son técnicamente la misma cosa, así que esto es principalmente un duplicado de su respuesta.

Answer 4

Por lo general, las primeras letras $a,b$ se utilizan para indicar valores constantes, que no se especifican pero que se pretende que sean fijos.

Las últimas letras $x,y,z$ se utilizan para indicar variables, es decir, un símbolo para un número que puede tener cualquier valor. En una ecuación solemos querer encontrar el valor de las variables, considerando los demás términos como fijos.

Pero esta regla no es tan rígida, y tenemos que estar atentos al concurso para entender qué son constantes o variables.

En muchos casos las constantes pueden variar en un rango (se llaman parámetros) y en este caso podemos tener problemas en los que queremos encontrar los valores de los parámetros de forma que las variables tengan algún valor determinado.

En su caso puede pensar en $a$ en la primera ecuación como un número fijo y $h$ como variable en un rango que es vecino de $0$ . En la segunda ecuación $x$ es una variable y se puede pensar $h$ como parámetro.

Answer 5

Si piensas en la época en que estabas en 9º grado aprendiendo a resolver ecuaciones cuadráticas, lo que viste fue que $$ \text{if } ax^2+bx+c=0\text{ then }x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\,{}}}{2a} $$ (no confundir con $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4a} c}{2a}$ o $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4} ac}{2a}$ o $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-{}} 4ac}{2a}$ etc., todo lo cual he visto con frecuencia $\ldots$ )

Y en los problemas individuales se ven cosas como $$ 2x^2-11x + 9 = 0,\quad\text{so that }a=2,\,b=-11,\,c=9. $$ Así, $a,b,c$ fueron las cosas que se conocido en cada caso particular y $x$ no lo era.

Sin embargo, la forma en que Stewart lo hace es una tontería, por las razones señaladas en la pregunta original.

Este es mi ejemplo favorito de que entender los conceptos de "constante" y "variable" puede ser importante, y que depende del contexto: \begin{align} \frac d {dx} 2^x & = \lim_{h\to0} \frac{2^{x+h}-2^x} h & & \text{(This step you should know by reflex.)} \\[10pt] & = \lim_{h\to0}\left( 2^x \cdot \frac{2^h - 1} h \right) & & \text{(This step is routine algebra.)} \\[10pt] & = 2^x \lim_{h\to 0} \frac{2^h-1} h & & \text{(because $2x$ is }{\bf constant}) \tag 1 \\[10pt] & = \left(2^x \cdot\text{constant}\right) & & (\text{because the limit is }{\bf constant}). \tag 2 \end{align}

Nota:

• En línea $(1)$ , diciendo $2^x$ es "constante" significa que no cambia como $h$ cambios.
• Pero en la línea $(2)$ decir que el límite es "constante" significa que no cambia como $x$ cambios.

"Constante" significa que no cambia como algo cambia, pero lo que es ese "algo" puede depender del contexto.

BTW $\dfrac d{dx} e^x = \left(e^x\cdot\text{constant}\right)$ como en el caso anterior, pero lo que es "natural" de $e$ en lugar de $2$ como la base es que cuando la base es $e$ en lugar de $2$ entonces la constante es $1$ .