Del siguiente diagrama, $A_1$ es el centro del círculo de radio $r$ . Todas las distancias están en el sistema de coordenadas $(x,y)$ . Distancia desde $A_1P_2$ es conocido. Distancia $A_1,A_2,A_3$ también se conoce de origen. Quiero encontrar el punto $P_1$ .
Agradezco cualquier ayuda al respecto.
Gracias.
El OP aclaró en chat que conoce las coordenadas de $P_2$ y simplemente quiere calcular las coordenadas de $P_1$ es decir, la intersección del círculo alrededor de $A_1$ y la línea que pasa por $A_1$ y $P_2$ . Espero que también lo aclaren en la pregunta.
Supongamos que $A_1$ tiene coordenadas $(x_A,y_A)$ y $P_2$ tiene coordenadas $(x_P,y_P)$ . Entonces la línea que atraviesa $A_1$ y $P_2$ es $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_P-y_A}{x_P-x_A}$$ o $$(x_P-x_A)(y-y_A)=(x-x_A)(y_P-y_A).$$
También quieres $$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.$$
Denotemos $a=x-x_A$ , $b=y-y_A$ . (Que es lo mismo que trasladar el origen del sistema de coordenadas al punto $A$ .) Entonces tienes dos ecuaciones $$(x_P-x_A)a=(y_P-y_A)b\\ a^2+b^2=r^2.$$ De la primera ecuación se obtiene $b=\frac{x_P-x_A}{y_P-y_A}a$ . (Debería pensar en el caso especial $y_P=y_A$ por separado; no se puede dividir por cero).
Si se introduce esto en la segunda ecuación se obtiene $$b^2\left(1+\frac{(x_P-x_A)^2}{(y_P-y_A)^2}\right)=r^2.$$ Se puede resolver para $b$ . Si sabes $b$ se puede calcular $a$ . Una vez que haya $a$ y $b$ se puede calcular $x$ y $y$ fácilmente.
Obtendrás dos soluciones, ya que la recta y la circunferencia se cruzan en dos puntos.
Tal vez si echas un vistazo a algunos de los resultados en la búsqueda de Google para línea de intersección círculo "geometría analítica" (o alguna consulta de búsqueda similar), podría encontrar varios enlaces útiles que podrían ayudarle a resolver problemas similares.
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